各态历经过程

时间平均值与时间自相关函数

对于一个函数，用$A[\cdot ]$来表示其平均值，比方说对信号$s(t)$，其时间平均值为
$$A[s(t)]=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}s(t)dt$$
对于随机过程的某一个样本$\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)$来讲，其时间平均值为
$$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)]$$
其时间上的自相关函数为
$$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)\mathbf{X}(t+\Delta t,{\zeta }_i)]$$

统计平均与时间平均

我们用$\mathbb{E}[]$来表示统计平均，用$A[]$来表示时间平均，有
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t)]]& =\mathbb{E}[\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\mathbf{X}(t)dt]\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\mathbb{E}[\mathbf{X}(t)]dt\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\eta (t)dt\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t,)\mathbf{X}(t+\Delta t)]]& =\mathbb{E}[\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\Delta t)dt]\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\mathbb{E}[\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\Delta t)]dt\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}R(t,t+\Delta t)dt\end{array}$$

各态历经

如果随机过程是宽平稳的，即均值与自相关函数不随时间变化，我们有
$$\begin{array}{r}\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t)]]=\eta \end{array}$$
和
$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\Delta t)]]& =R(\Delta t)\end{array}$$
在宽平稳假设的基础上，我们进一步假设一个随机过程各个样本的时间平均$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)]$ 和 时间自相关函数$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)\mathbf{X}(t+\Delta t,{\zeta }_i)]$都是相等的。即对任意的$i$，都有
$$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)]=\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t)]]=\eta$$
和
$$A[\mathbf{X}(t,{\zeta }_i)\mathbf{X}(t+\Delta t,{\zeta }_i)]=\begin{array}{rl}\mathbb{E}[A[\mathbf{X}(t)\mathbf{X}(t+\Delta t)]]& =R(\Delta t)\end{array}$$
那么这个随机过程即为各态历经随机过程。不具有这样性质的过程就称为非各态历经随机过程。