[动态规划系列] —— 区间DP

石子合并

stones描述n堆石子质量，每次可以合并相邻2堆石子，付出代价为2堆石子质量之和，问n堆石子合并为1堆石子的最小代价？

例如对于stone = [1, 3, 5, 2]返回22。

考虑对于区间[i, j]，有断点k，则合并[i, j]的代价cost(i, j)为sum(stone[i:j+1]) + cost(i, k) + cost(k+1, j)。对于sum(stone[i:j+1])我们可以使用前缀和做优化。

DP方案1：记忆化搜索逆向DP。

def solution(stones):
    n, prefix_sum = len(stones), [0]*(n+1)
    for i in range(n): prefix_sum[i] = stones[i] + prefix_sum[i-1]
    memory = [[0]*n for _ in range(n)]

    def search(i, j):
        if i == j: return 0
        if memory[i][j]: return memory[i][j]
        minimun = float('inf')
        for k in range(i, j):
            minimun = min(minimun, search(i, k) + search(k+1, j) + prefix_sum[j] - prefix_sum[i-1])
            memory[i][j] = minimun
        return minimun

    return search(0, n-1)

DP方案2：枚举区间正向DP。

def solution(stones):
    n = len(stones)
    prefix_sum = [0]*(n+1)
    for i in range(n): prefix_sum[i] = stones[i] + prefix_sum[i-1]
    status = [[0]*n for _ in range(n)]

    for length in range(2, n+1):
        for i in range(n-length+1):
            j = i + length - 1
            minimum = float('inf')
            for k in range(i, j):
                minimum = min(minimum, status[i][k] + status[k+1][j] + prefix_sum[j] - prefix_sum[i-1])
            status[i][j] = minimum

    return status[0][n-1]

最长有效括号

给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长的包含有效括号的子串的长度。

例如对于'(()(()'返回2。

考虑对于区间[i, j]，如果区间[i+1, j-1]是合法的且i，j处匹配，那么status[i, j] = status[i+1, j-1] + 2；接着需要枚举[i, j]内的区间，寻找两个相邻合法区间，取和最大值。例如对于")()())"中，只有枚举[1, 4]中的区间，才能计算出status[1, 4] = 2 + 2 = 4。

def solution(s):
    if not s: return 0
    n, ans = len(s), 0
    status = [[0]*n for _ in range(n)]

    for length in range(2, n+1):
        for i in range(n-length+1):
            j = i + length - 1
            if (length == 2 or status[i+1][j-1]) and (s[i], s[j]) == ('(', ')'):
                status[i][j] = status[i+1][j-1] + 2
            for k in range(i, j):
                if status[i][k] and status[k+1][j]:
                    status[i][j] = max(status[i][j], status[i][k] + status[k+1][j])
            ans = max(ans, status[i][j])

    return ans

注意：对该题目使用区间DP会超时，此处仅用此题举例，让读者可以验证自己代码的正确性。（最长合法括号子序列问题没找到，该问题对'(()(()'是返回4的，是找合法子序列的长度，不是子串）