红黑树之我见（一）
研究红黑树有10天多了，从最初了解什么是红黑树，到看伪代码，到网上查找资料，再到自己用C代码实现，感触很多。当然，最多的感触就是，红黑树光从理解和实现角度来说并不复杂，这是带给我很大安慰的地方。然后，强烈推荐一个博客吧http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6284050，博主是一个很nice的人，热心帮我解答了一个问题，而且，在他的博文里只要任何一处发现了错误，就免费送一些很好的资料的pdf版本。然后，再推荐一本书，相信很多人都知道《算法导论》（Intro to Algorithm）。
好了，切入正题，首先，说一下什么是红黑树。这里假设大家都知道树这样一种数据结构，不明白的朋友快去找本数据结构树看一下吧。红黑树是一种二叉查找树，二叉嘛，就是只分两个叉喽，那就是至多只有两个子树喽。就好比，现在计划生育，只生一个好，那么有两个呢，最好是双胞胎，多棒啊扯远了
红黑树的每一个结点，都有五个域：我把它分为两派，我思想突然转到变形金刚里的博派和狂派了，额。。。这两个派别呢，叫指针域和数据域，指针域包括parent( p )、leftchild( left )和rightchild( right )，数据域包括key和color，key值的类型可以是内置类型或者自己typedef的新类型，color就是咱们红黑树的特色了，红黑红黑，意思就是咱们这个红黑树的结点呢，只有两种颜色，要么是红，要么是黑。哈哈，突然想到，我做人有时候也这样，太过较真，非红即黑，非黑即白，不好不好
《算法导论》第二版原文中说，if a child or the parent of a node does not exist, the corresponding field of the node contains the value NIL。通俗地说，如果某个结点它的一个孩子或者父结点不存在，那么该结点相应的指针域就指向结点NIL(nil[T])。比如，如果结点z的父结点不存在，那么p[z] = nil[T]。算法导论里把nil[T]视为外结点，把红黑树本身带有关键字的结点称为内结点。nil[T]的属性p, left, right, key这四个都可以任意规定，但是color应当是黑色(Black)，这是为什么呢，请看下文分解
光知道红黑树的以上这些还是不够，因为这样我就可以随便构造红黑树了，我可以构造一个结点全是黑的或者全是红的，那么还叫什么红黑树啊，所以，最重要的，红黑树必须满足5个条件：
1）每个结点要么是红的，要么是黑色；
2）根结点必须是黑色的；
3）外结点（NIL）是黑色的；
4）如果一个结点是红色的，那么他的两个孩子都是黑的；（，怎么生出来两个都是黑孩儿，难道...）
5）对每个结点，从该结点到子孙结点的所有路径上包含相同的黑结点。这个如果大家不明白，请看下文，我会解释。
这样一个特别的树和普通的二叉树相比他有什么优点呢。普通二叉树的性能与该二叉树的形状有关，如果这个二叉树长得很高，那么用它实现集合操作比如SEARCH，性能不会比顺序表好多少，最坏情况下是O(logn)。但是，咱们的红黑树，根据《算法导论》里的引理13.1： 一棵有n个内结点的红黑树的高度至多为2log(n+1)。所以，动态集合操作SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR和PREDECESSOR使用红黑树都可以在O(logn)时间内实现，而接下来要说的RB-TREE-INSERT和RB-TREE-DELETE操作也能在O(logn)时间内实现，总之就是说用红黑树实现动态集合操作在时间复杂性方面很不错，很稳定，鲁棒性好，抗击打能力强，bulabulabula...所以STL里的set就是用红黑树实现的
下面我主要说RB-TREE-INSERT和RB-TREE-DELETE，以《算法导论》里的伪代码为例吧
第一个伪代码是旋转，至于这个什么用，请慢慢往下看。好比，想学好一门武功，总要练些基本功，嗯，就当先练扎马步吧
//LEFT-ROTATE(T, x)
y ← right[x] ▹ Set y.
right[x] ← left[y] ▹ Turn y's left subtree into x's right subtree
if left[y] != nil[T ]
then p[left[y]] ← x
p[y] ← p[x] ▹ Link x's parent to y.
if p[x] = nil[T]
then root[T] ← y
else if x = left[p[x]]
then left[p[x]] ← y
else right[p[x]] ← y
left[y] ← x ▹ Put x on y's left.
p[x] ← y
现在我要把上图经过左旋后变成下图。仔细观察，我们发现实现上只需要改变四个结点的关系即可：结点7,11,18,14。所以，我们需要断开7和11的联系，11和18的联系，18和14的联系，重接7和18的联系，11和14的联系，11和18的联系，这实际上就是上面那段伪代码在说的事儿~
现在我们的结点是11，伪代码第1行，y为11的右孩子18，第3、4行是将14的父指针指向11，这样就断开了14和18的联系，重接11和14的联系，但没有断完，因为18的右孩子仍然指向14，但接下来会说这个。第5行断开7和11的联系，使7和18产生联系，第7~10行断开原有的11和18的联系，并重建二者的联系（父子轮流做，爷孙天天有啊）。好了，似乎是事情办完了，但是，别忘记了，我们断开的联系只是断了一方面，就是某个结点的父结点换了，但是他原有的父结点的孩子结点仍然指向它，或者它的原有的孩子结点的父结点仍然指向它。那么，11~12两行代码，就是为了彻底断绝父子关系（从此，你就是路人甲，我就是路人乙，互不相欠），很简单，大家一看就懂，就不说了。
有了LEFT-ROTATE，那么RIGHT-ROTATE我就不说了，如果有问题，请给我留言！回去睡一觉，明早起来接着写
休息一晚，精神饱满。咱们继续往下说。上回说到旋转断绝父子关系，曾相识之人变为路人。这个旋转的作用就在于，使得曾经的结点互不相认，为了之后红黑树插入和删除结点修正红黑树的属性服务。
下面先看RB-INSERT伪代码
//RB-INSERT(T, z)
y ← nil[T]
x ← root[T]
while x ≠ nil[T]
do y ← x
if key[z] < key[x]
then x ← left[x]
else x ← right[x]
p[z] ← y
if y = nil[T]
then root[T] ← z
else if key[z] < key[y]
then left[y] ← z
else right[y] ← z
left[z] ← nil[T]
right[z] ← nil[T]
color[z] ← RED
RB-INSERT-FIXUP(T, z)RB-INSERT-FIXUP伪代码，既然是FIXUP，想必是在RB-INSERT里出了什么叉子，要来修正一下，使红黑树的5点性质继续得以保持喽！
//RB-INSERT-FIXUP(T, z)
while color[p[z]] = RED
do if p[z] = left[p[p[z]]]
then y ← right[p[p[z]]]
if color[y] = RED
then color[p[z]] ← BLACK // Case 1
color[y] ← BLACK // Case 1
color[p[p[z]]] ← RED // Case 1
z ← p[p[z]] // Case 1
else if z = right[p[z]]
then z ← p[z] // Case 2
LEFT-ROTATE(T, z) // Case 2
color[p[z]] ← BLACK // Case 3
color[p[p[z]]] ← RED // Case 3
RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) // Case 3
else (same as then clause with “right” and “left” exchanged)
color[root[T ]]← BLACKRB-INSERT第1行，定义一个y结点，并使其指向NIL，这个y的作用往下看才会知道（大侠总是埋得很深），定义结点x指向根结点。先结合下图（这个图是从上面那个博客里扒来的），我现在要在图1中插入结点0，也就是RB-INSERT( T, z )里的z
现在x指向结点9，图中黑色的NULL结点就是NIL。代码3~7行，由于x不是NIL，因此执行循环体，这个很简单，就不细说了，最终，y指向红色结点1（以后结点我就用[1]标示），而x指向left[1]也就是NIL。代码3~7行作用其实就是是给y赋值，而不是x，x也是为了y服务的，我们可以看到接下来的代码里x再没有出现过（狡兔死，走狗烹，飞鸟尽，良弓藏）这个y为什么要定位到[1]呢，因为我们要插入[0]，所以，自然，[0]应该插入到[1]的左孩子结点处。于是，我们有了第8行代码，p[0]指向[1]，这很显然。然而，这和我们上面说旋转时的代码一样，我们现在只是建立了[0]和[1]的一重关系，就是[0]承认[1]是我爹，但是[1]还没说[0]你就是我儿。那么，9~13行代码，就是为了交代这件事情。14~16行，把[0]染红，并且找了两个NIL当自己的儿子(们)。
还记得我前面说过，插入的结点是红色的吗？这里我给出我自己的看法吧。如果，大家觉得有问题或建议，请给我留言！
我认为理由就是，如果你插入的结点是黑色的，那么必然会影响红黑树性质5。那么，有人会问，如果插入结点是红色的，那么会影响性质4和2，这影响的还多一些呢。其实，仔细看一下，性质2，如果插入的结点是根结点，那么很简单，我们直接把这个结点染黑就行了。那么其实，就只剩下性质4和性质5的影响之间的差别了。而，这两个性质影响了，要修正过来都是挺麻烦的。但是，在我看来，如果插入的结点是红色的话，在有些情况下是不需要做任何修正的，就比如我们现在插入[0]，直接插入，整个操作就完成了。所以，我的意思是说，插入结点如果是黑色，那么就一定要修正，因为它100%地影响性质5，但是如果结点是红色，并不一定要修正，比如我们在说的这个例子。这就是我对插入的结点为什么要是红色的一些个人意见，如果大家还有什么好的意见，说来听听
插入完[0]后，插入就结束了，红黑树的5条性质得以保持，请看下图。
那么，我们的FIXUP没有用到，因为color[ p[0] ] == Black。所以，我再在上图的基础上接着插入，还是按照那篇博客里提到的顺序插入吧。我现在插入[11]，现在大家一眼能看出来了，怎么办。直接插到12的左孩子处即可，so easy！插好后的图如下。
好，我再接着插入，现在插入[7]，好了，我们想一下[7]应该放在何处，根据RB-INSERT的伪代码，那么显然是在2的右孩子处，现在问题来了，color[2] == Red，color[7] == Red，违反了性质4.所以，就需要FIXUP了。
是时候分析FXIUP了！
首先，第1行代码，这个必须满足，不满足就不用修正了。我们从第2行开始看，如果插入的结点[z]的父结点是它祖父结点的左孩子，很不幸，我们这里的[2]是[1]的右孩子，那么，我们只能到最后的else里去走一遭了——else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)。啊，原来就是把if里的right和left互换即可，这太好办了。咱们就按照这个意思来吧！（把RB-INSERT-FIXUP的2~14行代码的left和right互换）
从第2行看起，现在p[z]也就是[2]是[1]的右孩子，那么y就是z的叔叔，[2]的兄弟，[1]的左孩子——[0]，当当当当，闪亮登场。
color[0] == Red，所以，执行5~8，《算法导论》里叫case1，case1是什么呢，通俗地说，就是：
case1: 插入的结点的叔叔结点是红色;
处理办法: 把插入结点的叔叔结点和父结点染黑，把其祖父结点染红，并将插入结点上升两层，指向其祖父结点
处理完后，图形如下（手画的，很粗糙，请见谅）
然后再次进入while循环，由于p[z] == [9]，而color[9] == Black，所以，循环结束，打印输出结点，如下图所示，红黑树性质得以保持
我们的case2和case3还没有遇到，别急，等我喝口水，再接着说。
好了，现在开始研究case2，我们先在上图中插入[19]，这个大家一眼看出来了，如果没看出来，我也不再说了，很简单，见下图
现在，我再插入结点4，想必大家现在也知道了，[4]的位置是left[7]，但是却违反了性质4，所以需要修正，开始修正吧！（注意，由于这里p[z] == right [p[ p[z] ] ]，属于else ( ... "right" and "left" exchanged)）
[7] == right[2]，所以，y就是[7]的兄弟，要插入的结点[4]的叔叔（左叔叔）——NIL。color[y] == Black，所以，执行RB-INSERT-FIXUP的9~14行代码，是否符合case2呢，我们来看看case2：z的叔叔结点y是黑色，且z是左孩子，是case2，所以，我们z结点上升一层，指向[7]，然后以[7]为支点进行右旋，得到下图中的右图（手画的）
之后，由于color[ p[z] ] == Red，再次进入while循环，z的叔叔结点是NIL，不符合case1，z == right[ p[z] ]，所以是case3的情况，那么，就把[2]和[4]的颜色互换，然后以[2]为支点进行右旋（如上图中右图的红箭头所示），就得到了下图，红黑树性质又得以保持，我们又可以得瑟了...
好了，上边的三个case我都用图的形式提及了，相信大家仔细看的话应该明白了。唯一不足之处就是，实际上不是三个case，而是6个case，当p[z] == left[ p[ p[z] ] ]时是三个，而p[z] == right[ p[ p[z] ] ]时又是三个，这里我就不细说了，聪明的你，一定会知道。
到这里，红黑树的结点插入操作就基本说完了，那么我们也可以总结下：
1) 结点插入，首先要找到要插入的结点的位置，插入完后，要检查红黑树的5条性质是否都满足，不满足就需要fix up；
2) fix up视两大类，每一大类有三种情况，一共是六种情况，他们分别是:
①如果插入结点的父结点是其祖父结点的左孩子：
case 1: 插入结点的叔叔结点是红色;
case 2: 插入结点的叔叔结点是黑色，且插入结点是右孩子
case 3: 插入结点的叔叔结点是黑色，且插入结点是左孩子
②如果插入结点的父结点是其祖父结点的右孩子：
case 4: 插入结点的叔叔结点是红色;
case 5: 插入结点的叔叔结点是黑色，且插入结点是右孩子
case 6: 插入结点的叔叔结点是黑色，且插入结点是左孩子
这里要说一下，就是，通过上面一个插入[4]的例子我们可以看到，case 5转化为了case 6，而在插入[0]时，也就是case 1的情况，其实也可以找到case 4的情况，他们是互通的，并没有转换到case 2, case 3。实际上，我在上面举的这些是不全面的，case 1可以转化到case 2,而case 2也可以转换到case 3（请参见《算法导论》书中图13-4）.同时，case 4,5, 6也有类似的转化，至于 case 1, 2, 3, 4, 5, 6之间的转换，我还没有碰到过，如果有请指出。至于插入结点操作的时间复杂度的计算，《算法导论》里有严格的证明，而且也是很容易懂的，这里就不再累述。
删除结点的操作和插入想比，稍微复杂一些，正所谓请神容易送神难，但到底有多难，我们不妨看一下，其实，弄懂了，也是so easy!
咱们在第二部分里再见吧，这篇太长了，怕大家看久了视觉疲劳，歇一歇，喝口水，打个小盹，享受一下美好的人生