图论——最短路算法学习笔记
最短路算法
1.FLOYD算法
多源最短路
预处理：
二维数组储存两点之间的边距离，初始化为正无穷即可。自己到自己为0；
核心代码：
int inf = 999999;
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(e[i][k]
e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
}
}
}
}
弊端：可以处理负权图，但是不能处理负权环；
2.Dijkstra
单源最短路
预处理：二维数组储存两点之间距离同上。额外需要一位数组储存某一点到其余各点初始路程。
基本思想:寻找离源点最近的一个顶点，然后以该点为中心点扩展。
基本步骤：1，分组，首先将所有点分为两部分，已知最短路程的和未知的。（可以使用一个一维bool数组book表示）
2.设置源点自身距离为0，如果有可直接到达源点的点dis[i]即置为e[s][i],同时将其余点置为inf。
3.找到一个dis最小的点加入P ，并且进行每一条边的松弛操作扩展路径。
4.重复直到P中没有元素。
核心代码：
//初始化dis book
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=e[1][i];
for(int i=1;i<=n;i++) book[i] = 0;
book [1]=1;
//DIJKSTRA
for(int i=1;i<=n;i++) {
min=inf;
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(book[j]==0&&dis[j]
u=j; //找到距离1号点最短的点
}
}
book[u]=1;
for(int v=1;v<=n;v++) {
if(e[u][v]
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
}
}
*数组实现临接表
int n,m,i;
int u[6],v[6],w[6]; //需根据实际情况，要比m的最大值大1
int first[5],next[6];//first要比n大1，next要比m大1
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) first[i]=-1;
//核心
for(int i=1;i<=m;i++) {
cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
next[i]=first[u[i]];
first[u[i]]=1;
}
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1001;
const int M = 10001;
struct edge {
int v, w, next;
edge(){}
edge(int _v, int _w, int _next) {
v = _v;
w = _w;
next = _next;
}
} e[M * 2];
int head[N], size;
void init() {
memset(head, -1, sizeof(head));
size = 0;
}
void insert(int u, int v, int w) {
e[size] = edge(v, w, head[u]);
head[u] = size++;
}
void insert2(int u, int v, int w) {
insert(u, v, w);
insert(v, u, w);
}
int n, m;
int dis[N];
bool vis[N];
void dijkstra(int u) {
memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[u]=0;
for(int i=0;idis[minj]+w) {
dis[v]=dis[minj]+w;
}
}
}
}
int main() {
init();
int u,v,w;
cin>>n>>m;
while(m--) {
cin>>u>>v>>w;
insert2(u,v,w);
}
dijkstra(1);
cout<
3.Bellman-Ford
重要思想:对n个顶点的图只需遍历松弛n-1次即可得到最短路，同时，最短路径一定不包括环。
初始未优化代码：
//初始化dis
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
dis[1]=0;
//核心 n为顶点个数，m为边条数 w储存权值
for(int k=1;k<=n-1;k++) {
for(int i=1;i<=m;i++) {
if(dis[v[i]]> dis[u[i]] + w[i])
dis[v[i]] = dis[u[i]] + w[i];
}
}
//检测负环
flag=0;
if(dis[v[i]]> dis[u[i]] + w[i]) flag=1;
if(flag) cout<<"存在负权回路";