漫谈维纳滤波及MATLAB实现

1.序幕

维纳滤波器与卡尔曼滤波器可以看做是起源一样的，虽然维纳滤波器处理的是平稳信号，并且公式也足够简单，不过对于初学者来说理解起来仍然十分困难，甚至并不如卡尔曼滤波理解起来那样顺理成章，所以根据简单的例子，来理解一下什么是维纳滤波，然后就可以进行深层次的思考了

个人认为维纳滤波器算是自适应滤波器吧，暂且标注在这，学到的话回来修正

2.基础需求

维纳滤波器的理解，并不需要特别具体的例子来引出，只需要看几步推导的公式就足够了，但是想要会用，确实需要一点点的例子来辅助

part 1.维纳滤波的模型

$s(n)$--------真实信号
$v(n)$--------各种加性噪声或者干扰
$x(n)$--------观测信号
$\hat{s}(n)$--------估计信号
我们认为系统是线性的，真实的信号$s(n)$加入一系列的干扰，噪声$v(n)$后，变成我们看到的信号$x(n)$，我们可以根据一些性质（下面提及，就是根据线性空间的知识所得的一些垂直条件），来推算出一个线性的变换，从$x(n)$中恢复出$\hat{s}(n)$

part 2.维纳滤波的公式推导

公式推导就站在巨人肩膀
看知乎文章维纳滤波原理（Wiener Filter）
以及一个课件现代数字信号处理
讲的很清楚【后面有必要的话再重新整理一下】

3.深层思考

4.举个例子

举个例子，假设我们有一个频率为$f_1$的余弦信号，混进了频率为$f_2$的余弦信号以及高斯噪声，当然这个例子用普通的数字滤波器也是可以做的，这里我们看一下如何用$wiener$滤波器处理

%% wiener
clc;clear all;close all;
%% 数据准备
t = 0:0.001:0.2;
f = 20;
sn = 20*cos(2*pi*f*t);
vn = 0.5*wgn(1,length(t),2) + 10*cos(2*pi*120*f*t+0*2*pi);      % 加入噪声
xn = sn + vn;	% 观测信号
xb = cos(2*pi*f*t);       % 期望信号模型
%% 相关函数获取
a = xcorr(xn,xb,'coeff');	% 归一化的观测与期望的互相关函数
b = a(length(t):2*length(t)-1);	% 取出0~N-1点数的互相关函数
c = xcov(xn,xn,'coeff');	% 归一化的观测自相关函数
Rx = c(length(t):2*length(t)-1);	% 取出0~N-1点数的互相关函数
% 按照相关矩阵的形式，准备好相关矩阵Rx即代表的是Rxx
for i = 2:length(t)
    Rx = [Rx;c(length(t)+1-i:2*length(t)-1+1-i)];
end
%% 滤波
w = (Rx)\b.';
sh = xcov(w,xn).';	% 在时域要用卷积处理
sh = fliplr(sh(1:length(t)));	% 注意最后得到的结果取值的时候，存在从后向前取，故需要翻转
%% 展示
figure;hold on;grid on;
plot(t,sn);
plot(t,xn);
plot(t,sh,'g');
legend('sn','xn','$\hat{s}(n)$','Interpreter','latex');
title('wienerfiltering');xlabel('t');ylabel('A');

效果

注：问题应该主要是在相关函数的求取以及滤波的实现上，对于用矩阵处理的过程而言，判断好矩阵的大小和维数是很重要的

5.小结

参考

1. 维纳滤波原理
2. 现代数字信号处理
3. 维纳滤波器
4. 维纳滤波器
5. 维纳滤波
6. Wiener维纳滤波基本原理及其算法实现