zr2019暑期高端峰会AB组day8
文章目录
- zr2019暑期高端峰会AB组day8
- A. 抽象代数题（构造题）
- B. 数据结构题（计数题）
- C. 组合计数题
- T1赛后代码
zr2019暑期高端峰会AB组day8
dls的比赛真的真的好duliu啊
A. 抽象代数题（构造题）
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- 当 A = 100 A=100 A=100时，每个序列给它一个唯一的置换
- 当 A = 50 A=50 A=50时，由于 n = 50 n=50 n=50，我们可以构造 49 49 49个置换，每个置换让第一个位置和第 i i i个位置交换，其他位置不动，那么交换两个数需要三次操作，总操作数最多 3 ∗ ( n − 1 ) 3*(n-1) 3∗(n−1)
- 当 A = 30 A=30 A=30时，我们对前 25 25 25个元素构造和 1 1 1的置换，外加一个前 25 25 25位和后 25 25 25位交换位置的置换，那么我们虽然不能直接让所有元素和位置 1 1 1交换，但是由于我们分了两个，它们可以轮流得到和 1 1 1交换的机会，这样我们也能得到所有的排列，同样地，组数分得不一样也能得到相应的部分分
- 我们思考 A A A至少要是几我们才可以保证可以得到所有的排列，其实 A = 2 A=2 A=2就可以了，我们构造一个位置 1 1 1和位置 2 2 2的交换，和一个 2 − n 2-n 2−n的循环移位，那么对于每一对需要交换的位置，都可以用循环移位的操作放到 1 1 1和 2 2 2的位置交换
- 当 A = 5 A=5 A=5时，我们仿照上面的思路，减少步数的使用，上面的方法慢就慢在循环移位必须移位移位地移动，那么怎么样才能大步大步地移位且能使每一位都能到位置 2 2 2呢？倍增！但是 2 3 = 8 2^3=8 23=8还不够爽快，那么就用三进制， 1 ， 3 ， 9 ， 27 1，3，9，27 1，3，9，27
- 具体的操作方法： 1 ， 1， 1， 若位置 1 1 1上的数不是 1 1 1，把它该在的位置（和 2 2 2的相对位置）移到 1 1 1旁边和它交换， 2 ， 2， 2，若1的位置上时 1 1 1，找到 2 2 2后面第一个不应该在那的数，把它放到位置 1 1 1上重复步骤 1 1 1
B. 数据结构题（计数题）
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这题题面简洁明了，看似清新，实际是一个大力推式子的题，区分了我这种不会推式子的人，首先写一写方差的公式，我们可以把静态序列的方差写成这样
∑ i = 1 n a i 2 n − ( ∑ a i ) 2 n 2 = ∑ a i 2 n − 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i a j \frac{\sum_{i=1}^n a_i^2}{n}-\frac{(\sum a_i)^2}{n^2} = \frac{\sum a_i^2}{n}-\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_ia_j n∑i=1nai2−n2(∑ai)2=n∑ai2−n21i=1∑nj=1∑naiaj
把后面那一项， i = j i=j i=j和 i ≠ j i \ne j i̸=j分开算贡献
∑ i = 1 n a i 2 n − 1 n 2 ∑ i = 1 n a i 2 − ∑ i ∑ j [ i ≠ j ] a i a j \frac{\sum_{i=1}^n a_i^2}{n}-\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i}\sum_j[i \ne j]a_ia_j n∑i=1nai2−n21i=1∑nai2−i∑j∑[i̸=j]aiaj
我们现在考虑算序列的所有子集的方差和，先枚举一个 k k k代表子集大小，那么大小为 k k k的子集的贡献为
( n − 1 k − 1 ) k ∑ i = 1 n a i 2 − ( n − 1 k − 1 ) k 2 ∑ i = 1 n a i 2 − ( n − 2 k − 2 ) k 2 ∑ i ≠ j a i a j \frac{\tbinom{n-1}{k-1}}{k}\sum_{i=1}^na_i^2-\frac{\tbinom{n-1}{k-1}}{k^2}\sum_{i=1}^na_i^2-\frac{\tbinom{n-2}{k-2}}{k^2}\sum_{i \ne j}a_ia_j k(k−1n−1)i=1∑nai2−k2(k−1n−1)i=1∑nai2−k2(k−2n−2)i̸=j∑aiaj
我们有这三项东西，每一项的右边和 a a a有关的我们都能用线段树轻松维护，至于前面的组合数系数，就又是轮到了推式子的时刻
-
( n − 1 k − 1 ) k \frac{\tbinom{n-1}{k-1}}{k} k(k−1n−1)
这一项是最简单的，我们只用一个配凑组合数的技巧就能搞定，数学竞赛也经常用
( n − 1 k − 1 ) k = 1 k ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! = 1 n n ! k ! ( n − k ) ! = ( n k ) n \frac{\tbinom{n-1}{k-1}}{k}=\frac{1}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\frac{1}{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{\tbinom{n}{k}}{n} k(k−1n−1)=k1(k−1)!(n−k)!(n−1)!=n1k!(n−k)!n!=n(kn) -
( n − 1 k − 1 ) k 2 \frac{\tbinom{n-1}{k-1}}{k^2} k2(k−1n−1) 差分。。。
有点晚了，未完待续。。。
C. 组合计数题
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- 先按右端点排序
- 对于每个区间求出它最左边能碰到的一个区间，和最右边能碰到的一个区间
- 然而我们只考虑这两个边界就行了，问题变成了，一些区间，其中选一些出来使得并集是全集，这个dp可以用线段树维护
T1赛后代码
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