关键路径

AOE网示例图：

AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件（如V0），用有向边表示活动（如 = a1），边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图为边表示的活动的网，简称AOE网（activity on edge network）

源点：
在AOE网中，没有入边的顶点称为源点；如顶点V0

终点：
在AOE网中，没有出边的顶点称为终点；如顶点V3

AOE网的性质：
【1】只有在进入某顶点的活动都已经结束，该顶点所代表的事件才发生；

         例如：a1和a2活动都结束了，顶点V2所代表的事件才会发生。

【2】只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才开始；

         例如：只有顶点V1所代表的事件结束之后，活动a2和a4才会开始。

 
在AOE网中，所有活动都完成才能到达终点，因此完成整个工程所必须花费的时间（即最短工期）应该为源点到终点的最大路径长度。具有最大路径长度的路径称为关键路径。关键路径上的活动称为关键活动：

 
事件的最早发生时间：ve[k]
根据AOE网的性质，只有进入Vk的所有活动都结束，Vk代表的事件才能发生，而活动的最早结束时间为ve[j]+len。所以，计算Vk的最早发生时间的方法为：

ve[0] = 0

ve[k] = max(ve[j] + len)

事件的最迟发生时间：vl[k]
vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下，事件Vk允许的最迟发生时间。根据AOE网的性质，只有顶点Vk代表的事件发生，从Vk出发的活动才能开始，而活动的最晚开始时间为 vl[k]=vl[j] - len。

活动的最早发生时间：ee[i]
ai由有向边，根据AOE网的性质，只有顶点Vk代表的事件发生，活动ai才能开始，即活动ai的最早开始时间等于事件Vk的最早开始时间, ee[i] = ve[k]

活动的最迟发生时间：el[i]
el[i]是指在不推迟整个工期的前提下，活动ai必须开始的最晚时间。若活动ai由有向边表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后，即 el[i]=vj最迟发生时间-ai

案例：

原始AOE网：

事件的最早发生时间：ve[k]

从源点向终点方向计算

ve[0] = 0

ve[1] = ve[0] + a0 = 0 + 4 = 4

ve[2] = max( ve[0] + a1, ve[1] + a2 ) = max(0 + 3, 4 + 2 = 6

ve[3] = max(ve[1] + a4, ve[2] + a3) = max(4 + 6, 3 + 4) = 10

事件的最迟发生时间：vl[k]

从终点向源点方向计算

vl[3] = ve[3] = 10

vl[2] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

vl[1] = min(vl[3] - a4, vl[2] - a2) = min(10-6, 6-2) = 4

vl[0] = min(vl[2] - a1, vl[1] - a0) = min(4-4, 4-2) = 0 

活动的最早发生时间：ee[i]

共有五个活动：

ee[0] = ve[0] = 0

ee[1] = ve[0] = 0

ee[2] = ve[1] = 4

ee[3] = ve[2] = 6

ee[4] = ve[1] = 4

活动的最迟发生时间：el[i]

el[0] = v[1] - a0 = 4 - 4 = 0

el[1] = vl[2] - a1 = 6 - 3 = 3

el[2] = vl[2] - a2 = 6 - 2 = 4

el[3] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

el[4] = vl[3] - a4 = 10 - 6 = 4

 

活动的最早开始时间和最晚开始时间相等，则说明该活动时属于关键路径上的活动，即关键活动。

经过比较，得出关键活动有：a0, a2, a3, a4，画出示意图如下：

该AOE网有两条关键路径。

所以，通过此案例也可以发现，一个AOE网的关键路径可能有多条。