Hermite多项式正交性证明

所谓的Hermite多项式 {Hn} 就是在区间 (−∞,∞) 上关于权函数 e−x2 所构成的直交系。它可以通过如下的表达式来定义：

Hn(x)=ex2(ddx)n(e−x2)

.

• 易知， Hn(x) 是个n次多项式；易证， Hn(x) 的最高次项系数为 (−2)n 。
• 记 u=e−x2 ，那么，
  
  u(k)(−∞)=u(k)(∞)=0,(k=0,1,2,…)
• 对于任何次数不高于n的多项式 V(x) ，利用逐次分部积分可得：
  
  ∫+∞−∞e−x2Hn(x)V(x)dx=(−1)n∫+∞−∞e−x2V(n)(x)dx
  
  故，当 V 的次数低于n时，上式右端就是零。

这就证明了 Hn 确实是关于权 e−x2 的直交系。

此外，取 V(x)=Hn(x) ，可知，

∫+∞−∞e−x2[Hn(x)]2dx=2nn!π√