最大流

定义

最大流(Maximum Flow)

流网络((flownetwork))

在有向图 G 中，流是一实函数 f：V×VR，并满足以下三个条件：
容量限制 ：对于所有的 u,v∈V，f(u,v)≤c(u,v)
反对称性 ：对于所有的 u,v∈V，f(u,v)= -f(v,u)
流守恒 （流进=流出）：图中每条边(u,v)∈E 均为非负 容量 c(u,v)≥0。如果(u,v)不
属于E，则 c(u,v)=0。
源s，汇t
某个顶点的 总净流 定义为：净流＝流出总正流－流入总正流

多源多汇

加入s和t就可变成单源单汇

剩余网络(residual network)

剩余网络就是在流网络中除去某个流后， 所有剩余容量(residual capacity)组成的网络。
剩余流量：二个顶点u,v间的剩余容量定义为：c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)
对于给定的流网络G=(V,E)以及流f，则G_f(V,E_f) 是相对与流f的剩余网络。

增广路径((Augmenting Path)

从s到t的简单路径p。
c_f§ = min(c_f(u,v) ; (u,v) ∈ p) , 即增广路径的最大流量由p中边的最小容量决定。
令f是流网络G=(V,E)的一个流，令P是剩余网络Gf的一 条增广路径。定义函数f_p：V×V->R，则
f_p是G_f的一个流且流值为 |f_p|=c_f§>0
定义函数f’:V×V->R且f’=f+fp，那么f’ 是G中的一个流，其流值|f’|=|f|+|f_p|>|f|。

截(Cut)

流网络的截(S,T)是顶点V的一种划分，其中T=V-S， s∈S，t∈T。
流函数f(S,T)：穿越截(S,T)的净流，即流出总正流－ 流入总正流。
C(S,T)：截(S,T)的容量，即从S到T的容量之和。
最小截：所有截中容量最小的截。
任意截(S,T)的净流f(S,T)=|f|。
流网络G中的任何流值均受限于G中截的容量限制, f(S,T)<=c(S,T)

最大流最小截定理：如果f是源为s汇为t的流网络G中的一个流，那么以下条件相等：f是G中的最大流<=>
剩余网络没有增广路径 <=> G中存在截(S,T)，使|f|=C(S,T)
参考https://www.jianshu.com/p/beca253fdc9f

Ford-Fulkerson算法

Ford-Fulkerson-Method(G,s,t)
  初始化流f=0
  while 存在增广路径P
    do 沿增广路径P增加流f
    根据增加的流，更新边的容量
  return f

时间复杂度O(fE) , f为增广路径的数量，可大可小。

Edmonds-Karp算法

Edmonds-Karp 算法是 Ford-Fulkerson 方法的一种具体实现。它采用 BFS 搜索方法在剩余网络
中寻找增广路径。具体做法是先对每条边的权值统一赋值为 1，然后找一条从 s 到 t 的最短
路径。基于此方法，Edmonds-Karp 算法求最大流的时间为 O(VE^2)。

应用：最大二分图匹配(Maximum Bipartite Matching)

1. 二分图
   把顶点集V划分为二个不相交的子集合L和R，即 V=L∪R，L∩R=Φ，并且只有L和R之间存在边，L、R
   内部的顶点间没有边，则称这样的图为二分图。

2. 匹配
   二分图中具有最多边的匹配称为最大二分图匹配

3. 求二分图的最大匹配问题
   首先需把二分图转换为流网络：

• 增加一个源s和汇t及s到L中所有顶点的边以及R中所有顶点到t的边
• 把无向图改为有向图，方向为s->L->R->t
• 给所有边赋值为单位容量值

4. 二分图G的一个最大匹配M的目数等于其相关流 网络G’的最大流f的流值。

5. 算法时间为O(VE)

Push-relable算法

定义

1. 预流
   V中除了s,t外的v不满足流守恒，若v的净流>=0,称为溢出顶点。

2. 高度
   h(s)=|V| , h(t)=0 ，保持不变
   其他顶点高度初始化为0，h(u) = 0
   对于边(u,v)，h(u)<=h(v)+1

push

三个条件：

1. u为溢出顶点
2. h(u)=h(v)+1
3. 存在边容量>0，c_f(u,v)>0

Push操作：
向下推的流量d=min(e(u), c_f(u,v))，即取u的净流与边容量的较小值，取后者时称为饱和push。
e(v) += d
e(u) -= d
push后 u,v 之间建立一条反向的容量为d的边，也可以直接抵消正向容量。

relable

两个条件：

1. u为溢出顶点
2. h(u)<=h(v)

操作：
h(u) = 1 + min(h(v)) ， v与u相连的顶点。

初始化（init）

1. 高度初始化
2. 把s的流以容量为限推到与之相连的各个顶点，e(u)=c(s,u)

算法

push_relanble(G)
  init_preflow(G)
  while there exists a vertex that can be pushed or relabled
    do choose push or relable at will

参考

《算法导论》
https://www.jianshu.com/p/beca253fdc9f