机器学习、增量学习中的各种损失函数解析

机器学习中的各种损失函数解析：若博文有不妥之处，望加以指点，笔者一定及时修正。

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① 损失函数

损失函数：计算一个样本的误差；
代价函数：整个训练集上所有样本误差的平均；
目标函数：代价函数+正则化项

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方差：衡量随机变量或者一组数据的离散程度。方差越大，数据越离散。
标准差：方差的算术平方根，反映组类个体之间的离散程度。

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1、Softmax Loss

$Softmax$ ：将特征图扁平化后的输出映射到（0，1）之间，给出每个类的概率。假设最后一层特征图尺度是：$5\ast 5\ast 1000$ 。再将这些特征输入给扁平化 为 [$N$ X $1$] 个向量（这里的 $N$ 是 $5\ast 5\ast 1000=25000$）。下面扁平化的 [ $N$ X $1$] 的向量进入全连接层，全连接层的参数权重是 $W$[$T$ X $N$]（这里的 $T$ 表示分类的类别数），经过全连接层处理就会得到一个 [$T$ x $1$] 的向量，但是这个向量里面都每个数值的大小都没有限制，或许是无穷大，也有可能是无穷小，均有可能。因此多分类时候，往往在全连接层后面接个 $Softmax$ 层。这个层的输入是 [$T$ x $1$] 的向量，输出也是 [$T$ x $1$] 的向量。但是输出的每个向量都归一化到 $[0，1]$ 之间。这里的 $Softmax$ 输出的向量是该样本属于每一类的概率。

$Softmax$公式：
$$P_j=\frac{e^{a_j}}{{\sum }_{k=1}^T{e}^{a_k}}$$
上面公式中的 $a_j$ 表示这 [$T$ x $1$] 个向量中的第 $j$ 个值，而下面分母表示所有值的求和。上式成功的把 $P_j$ 归一化到 $(0，1)$ 之间。优化目标：属于正确标签的预测概率最高。

下面介绍 $SoftmaxLoss$：
$$L=-\sum _{j=1}^T{y}_i\log p_j$$上式中的 $p_j$ 表示 $Softmax$ 层输出的第 $j$ 的概率值。$y$ 表示一个 [$1$ x $T$] 的向量，里面的 $T$ 列中只有一个为1，其余为0（真实标签的那个为1，其余不是正确的为0）。这个公式有一个更简单的形式是：
$$L=-\log p_j$$其中的 $j$ 是指当前样本的真实标签。$log$函数是个递增的函数，你预测错的概率会比你预测对的概率要大，因为前面加了一个负号。

所以分类里面常用 $SoftmaxLoss$。

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2、交叉熵(Cross Entropy)

$p(x)$ 为真实分布，根据真实分布 $p(x)$ 来衡量识别一个样本的所需要的编码长度的期望（平均编码长度）为：$$H(p)=\sum _{x}p(x)\log \frac{1}{p(x)}$$ 而交叉熵是使用预测的分布来表示来自真实分布的平均编码长度。也就是评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，也就是使用错误分布来表示真实分布的平均编码程度。$$H(p,q)=-\sum _{x}p(x){\log }_2\frac{1}{q(x)}$$其中 $p(x)$ 为真实分布，$q(x)$ 是模型通过数据计算出来分布的概率。
减少交叉熵损失就是在提高模型的准确率。
预测的分布$q(x)$得到的平均编码长度$H(p,q)$ > 真实分布$p(x)$得到的平均编码长度 $H(p)$。
我们定义：由$q(x)$得到的平均编码长度比由$p(x)$得到的平均编码长度多出的部分称为 相对熵。

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3、相对熵(KLD散度、Relative entropy)

$$D_{KL}(p,q)=H(p,q)-H(p)=\sum _{x}p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)}$$它表示两个函数或者概率分布的差异性：差异性越大则相对熵越大，反之，差异越小，相对熵越小。这个量来衡量近似分布相比原分布究竟损失了多少信息量，而不是两个分布在空间中的远近距离，所以散度不是距离，$$D_{KL}(p,q)̸=D_{KL}(q,p)$$不具有交换性。

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3、平方损失函数、均方误差(MSE，Mean Squared Error)

通过对真实值和预测值的差求平方，直接测量输出与输入之间的距离，这就是线性回归的损失函数，常常用于回归中。定义输入为$y_i$，输出为${\hat{y}}_i$。那么平方损失函数定义为：（这边假设最终结果都服从于高斯分布）
$$L(x)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

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4、均方误差与Softmax Loss的区别

均方误差用于多分类的时候，对每一类输出结果都很看重，交叉熵函数只对正确的分类结果看重。使用的一般原则：如果致力于解决的问题是回归问题的连续变量，使用均方误差比较合适；如果是分类问题的离散$One-hot$ 向量，则交叉熵损失函数较合适。

举个例子，对于一个模型的输出为：$(x，y，z)$，真实结果是$(0，1，0)$，那么这个损失函数可以描述为：
$$SoftmaxLoss：L_S=-0\ast logx-1\ast logy-0\ast logz=-logy$$$$MSE：L_{MSE}=(x-0{)}^2+(y-1{)}^2+(z-0{)}^2=x^2+(y-1{)}^2+z^2$$我们可以看出均方误差只是将正确的分类尽可能大，其余让错误分类变得更加平均。这对回归问题特别重要，对分类作用不大。

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5、平方绝对误差（MAE，Mean Absolute Error）

$$L(x)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N|y_i-{\hat{y}}_i|$$
绝对损失函数的意义与均方误差差不多，只不过没有取平方，而是取绝对值，差距不会被平方放大。利用均方误差更容易求解，但是平方值误差对于异常值更为稳健。

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6、最大均值差异（MMD，Maximum mean discrepancy）

参考链接：https://blog.csdn.net/a529975125/article/details/81176029, 十分推荐！
MMD 是迁移学习，尤其是预适应$(domainadaptation)$中应用广泛的一种损失函数。主要度量两个不同但相关的分布的距离。这两个分布的距离定义为：
$$MMD(X,Y)=||\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\varphi (x_i)-\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m\varphi (y_j)|{|}_H^2$$这边的$H$表示这个距离是由 $\varphi ()$ 将数据映射到再生希尔伯特空间$(RKHS)$中进行度量的。

为什么要使用MMD？

域适应的目的：将源域中学到的知识可以应用到不同但相关的目标域。本质和关键上要找到一个变换函数，使变换后的源域数据与目标域数据的距离是最小的。那么如何度量两个域中数据分布差异的问题，因此也用到了 MMD。

MMD的理论推导：寻找一个变换函数，但是这个变换函数在不同的任务中都不是固定的。并且这个映射可能是高维空间中的映射，所以很难去选取和定义。 如果这个映射函数 $\varphi ()$ 未知，那 $MMD$ 如何求取呢？
将 $MMD$ 展开：
$$MMD(X,Y)=||\frac{1}{n^2}\sum _{i,i^{{}^{\prime }}}^n\varphi (x_i)\varphi (x_{i^{{}^{\prime }}})-\frac{2}{nm}\sum _{i,j}^n\varphi (x_i)\varphi (y_j)+\frac{1}{m^2}\sum _{j,j_{{}^{\prime }}}^n\varphi (y_i)\varphi ({y_i}^{{}^{\prime }})|{|}_H^2$$展开后就出现 $\varphi (x_i)\varphi ({x_i}^{{}^{\prime }})$的形式，这里面的 $\varphi ()$就类似于 $SVM$ 的核函数 $k(\ast )$，就可以直接跳过 $\varphi ()$ 的部分，直接求 $k(x_i)k({x_i}^{{}^{\prime }})$。这里 $MMD$ 又可以表示为：
$$MMD(X,Y)=||\frac{1}{n^2}\sum _{i,i^{{}^{\prime }}}^{n}k(x_i)k(x_i^{{}^{\prime }})-\frac{2}{nm}\sum _{i,j}^{n}k(x_i)k(y_j)+\frac{1}{m^2}\sum _{j,j_{{}^{\prime }}}^{n}k(y_i)k({y_i}^{{}^{\prime }})|{|}_H^2$$
这里的核函数 $k(\ast )$ 一般用高斯核函数$k(u,v)=e^{\frac{-||u-v|{|}^2}{\sigma }}$，因为使用高斯核函数可以映射到无穷维空间。
代码参考：https://blog.csdn.net/zkq_1986/article/details/86747841
我跑编码器实验的时候用的就是这个函数，亲证有效：

import torch
 
def guassian_kernel(source, target, kernel_mul=2.0, kernel_num=5, fix_sigma=None):
    '''
    将源域数据和目标域数据转化为核矩阵，即上文中的K
    Params:
	    source: 源域数据（n * len(x))
	    target: 目标域数据（m * len(y))
	    kernel_mul:
	    kernel_num: 取不同高斯核的数量
	    fix_sigma: 不同高斯核的sigma值
	Return:
		sum(kernel_val): 多个核矩阵之和
    '''
    n_samples = int(source.size()[0])+int(target.size()[0])
    # 求矩阵的行数，一般source和target的尺度是一样的，这样便于计算
    total = torch.cat([source, target], dim=0)
    #将source,target按列方向合并
    #将total复制（n+m）份
    total0 = total.unsqueeze(0).expand(int(total.size(0)), int(total.size(0)), int(total.size(1)))
    #将total的每一行都复制成（n+m）行，即每个数据都扩展成（n+m）份
    total1 = total.unsqueeze(1).expand(int(total.size(0)), int(total.size(0)), int(total.size(1)))
    #求任意两个数据之间的和，得到的矩阵中坐标（i,j）代表total中第i行数据和第j行数据之间的l2 distance(i==j时为0）
    L2_distance = ((total0-total1)**2).sum(2)
    #调整高斯核函数的sigma值
    if fix_sigma:
        bandwidth = fix_sigma
    else:
        bandwidth = torch.sum(L2_distance.data) / (n_samples**2-n_samples)
    #以fix_sigma为中值，以kernel_mul为倍数取kernel_num个bandwidth值（比如fix_sigma为1时，得到[0.25,0.5,1,2,4]
    bandwidth /= kernel_mul ** (kernel_num // 2)
    bandwidth_list = [bandwidth * (kernel_mul**i) for i in range(kernel_num)]
    #高斯核函数的数学表达式
    kernel_val = [torch.exp(-L2_distance / bandwidth_temp) for bandwidth_temp in bandwidth_list]
    #得到最终的核矩阵
    return sum(kernel_val)#/len(kernel_val)
 
def mmd_rbf(source, target, kernel_mul=2.0, kernel_num=5, fix_sigma=None):
    '''
    计算源域数据和目标域数据的MMD距离
    Params:
	    source: 源域数据（n * len(x))
	    target: 目标域数据（m * len(y))
	    kernel_mul:
	    kernel_num: 取不同高斯核的数量
	    fix_sigma: 不同高斯核的sigma值
	Return:
		loss: MMD loss
    '''
    batch_size = int(source.size()[0])
    #一般默认为源域和目标域的batchsize相同
    kernels = guassian_kernel(source, target, kernel_mul=kernel_mul, kernel_num=kernel_num, fix_sigma=fix_sigma)
    #根据式（3）将核矩阵分成4部分
    XX = kernels[:batch_size, :batch_size]
    YY = kernels[batch_size:, batch_size:]
    XY = kernels[:batch_size, batch_size:]
    YX = kernels[batch_size:, :batch_size]
    loss = torch.mean(XX + YY - XY -YX)
    return loss#因为一般都是n==m，所以L矩阵一般不加入计算

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② 参考博客

这几位的博客十分好，隆重推荐！

1. https://blog.csdn.net/dwenjun/article/details/81914683
2. https://blog.csdn.net/m_buddy/article/details/80224409
3. https://blog.csdn.net/zkq_1986/article/details/86747841
4. https://blog.csdn.net/a529975125/article/details/81176029