图论学习--1 图的基本概念（思维导图）同构 偶图 补图 度序列 子图及运算 邻接谱 最短路算法 图的连通性

下面配上配套的思维导图

图的基本概念

图与简单图

一些简单概念

• 平凡图

  • 只有一个顶点，无边

• 空图

  • 边集为空

• 顶点数（阶数）

• 重边，重数

• 环

• 简单图

  • 没有重边也没有环

• 复合图

  • 除了简单图，就是符合图

• 有限图

图的同构

• 可以理解为：将原来图的顶点标号抹除，重新标号，两图即为同构
• 相互同构的图的顶点集可以一一对应起来，且边的重数也能对的上
• 相互同构的图的形状可能看起来不同，但在空间中经过拉扯，最终还是一样的
• 同构的符号是≌

几类图（简单图）

• 完全图

  • 每两个不同顶点之间都一条边相连，记为

• 偶图（二部图）

  • 点集可以分为两个子集X、Y，每条边的一个端点在X中，另一个在Y中

  • 完全偶图

    • X中的每个顶点都与Y的每个顶点相连，记为Km,n

  • 偶图中不能有三角形！可以有重边！

    • 偶图可以不是简单图

• 补图

  • 对于图G，其补图就是G‘，G’点集与G相同，边集与G之并为完全图的边集

  • 定理1：n阶图G自补(即G≌G’)，则n(mod4)=0,1

    • 因为自补，意味和补图同构，边相等且相加为完全图的边数，从而算出边数和顶点的关系式

顶点度，度序列

• 奇点，偶点

  • 奇数度的点，偶数度的点

• :最大度，最小度δ(G)

• K-正则图

  • 简单图的所有度都为K

  • 完全图和完全偶图Kn,n都是K-正则图

    • 注意完全偶图可能是是Km,n，m≠n时不是k正则图

• 定理2：图的度之和等于边数2倍

  • 推论1：任何图中，奇数点的个数为偶数
  • 推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数
  • 该定理就是握手定理(为什么会想到Tcp三次握手···)

• 度序列

  • 充要条件：总和为偶数

    • 能作出图来就是度序列，作图规则是偶数自己画一半的环，奇数两两匹配一条边，然后再画一半的圈，可成图
    • 握手定理
    • 非度序列不可画出图

• 度序列是否可图（简单图）

  • 判断最大度是否超过n-1

  • 判断有无重复元素

  • 判断度序列之和是否为偶数

  • 定理3：度数之和为偶数的度序列，原度序列是否可图和减法操作之后的度序列是否可图一致

    • 进行减法操作，删去最大度，然后依次减一，直到减完最大度，再进行判断

• 频序列

  • 度为s的节点的个数为bs，bs便组成了一个序列
  • 图G与其补图有相同的频序列

子图与图运算

子图的概念

• 所谓子图，就是原图的一部分，顶点是一部分，边是一部分，重数也是一部分。全是子集

• 真子图，没啥好说的

• 生成子图

  • 顶点集和母图的顶点集相等，其余是包含于，即点都有，边不一定，每条边都有50%的概率存在
  • 一个简单图G的生成子图的所有个数为2^m个

• 顶点导出子图

  • 如果v‘是顶点集V的子集，以v’为顶点集，以两端点均在v‘中的边集组成的图，称为图G的点导出子图，记为G[v’]

• 边导出子图

  • 如果e’是边集E的子集，以e’为边集，以e‘中边的所有端点为顶点集组成的图，称为图G的边导出子图

图运算

• 删点

  • G-v’意味删除v‘中的顶点，并删除v’关联的所有边的操作

• 删边

  • 仅仅删除边，但是不删出点

• 并运算

  • V=V1∪V2，E=E1∪E2
  • 若G1、G2无公共点，称它们为直接并，G1+G2

• 交运算

  • V=V1∩V2，E=E1∩E2

• 差运算

  • G1-G2为从G1中删去G2中的边得到的新图

• 对称差运算(环和运算)

  • 即并-交，两个图互不相关的部分放一块

• 联运算

  • 两个不相交的图，将G1中的每个顶点与G2的每个顶点连接，则得到新图是G1，G2的联图
  • 记为G1 v G2

• 积图

  • G1 x G2

  • 新的点集为V1 x V2，原本G1两个点，G2三个点，此时新点集有2*3个点，且新点成了坐标

  • 新的边集：(u1,u2)与(v1,v2)相连仅当：u1=v1且u2adjv2或u2=v2,u1adjv1 即x，y坐标，必须得一个相等，另一个相邻

  • 设z是u的任意一个邻点，一定有(u,v)的一个邻点(z,v)，反之亦然。对于v也同理，所以(u,v)在积图GxH中邻点个数等于u在G中邻点个数与v在H中邻点个数之和

• 合成图

  • 记为G1[G2]
  • 新的点集和积图是一样的
  • 新的边集：相比积图条件要宽松一些，u1=v1且u2adjv2或u1adjv1，明显是要宽松1/4吧。

• 超立方体

  • 1方体

    • Q1=K2

  • n方体

    • Qn=K2xQn-1

邻接谱、代数、图空间（知道概念就行）

邻接谱

• 邻接矩阵的特征值及其重数

  • 完全图的邻接谱，可能得记一下

• 定理1：m为重数，λ是特征值

  • 证明：矩阵的特征值平方之和为A^2的迹

• 定理2：λ是G的任意特征值，则

  • 要用柯西不等式

邻接代数

托兰定理

• 完全l几乎等部图

  • n=kl+r，0≤r＜l，且|V1|=···=|Vr|=k+1，|Vr+1|=···=|Vl|=k，则称T,ln

• 度弱

  • 弱G度弱与H，一定有m(G)≤m(H)，反过来不一定

• 若n阶简单图G不包含Kl+1，则G度弱与某个完全l部图H，且G具有与H相同的度序列，则G与H同构

  • 懵的

• 托兰定理：若G是简单图，并且不包含Kl+1，则m(G)≤m(Tl,n)，且仅当G和Tl,n同构时，有m(G)=m(Tl,n)

最短路算法

标号法

• 算法思路：假设已经有集合A={a1···an}，对其中每一个ai，都有t(ai)，即从a到ai的距离。然后对每个ai，都选出与之相邻的且不在集合A中的且边权最小的一个点，计算其t，t=t(ai)+w，然后就有n个点，比较它们的t值，从其中选出一个最小的，它就是an+1，将其放入集合A，如此迭代，则可以得到a到b，以及到每个点的最短路径及距离
• 和dijkstra还是有点区别的，不过我也忘了dijkstra是什么样的了，无所谓了，然后就算是代码实现也很简单，就是邻接矩阵，逐行找最小，然后比较
• ppt上倒酒的例子，感觉就是将所有可能转换成图，状态图，状态之间能互相转换的连边，然后看从(8,0,0)到(4,0,0)距离多远
• 人狼羊菜的例子也懂了，从岸A到岸B，就是一个2^4=16种可能，这是岸A上的东西的可能数。然后狼菜就代表着岸A上有狼和菜，人狼菜说明人返回到岸A时，岸A上的东西。然后16种状态的连边关系是这样，两个状态必须相差人和任意一个东西。如此便能构成图

矩阵的代数表示

邻接矩阵

• 老生常谈，这个概念就不叙述了

• 非负性

• 对称性

• 同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵

• 布尔矩阵时：行和（列和）是每个节点的度，矩阵元素总和是图的总度数

• G连通的充要条件，不能对G的邻接矩阵进行分块，[A11,0;0,A22]如此。非连通图的邻接矩阵一定能写成准对角矩阵形式，在写G的邻接矩阵时，先第一个连通分支中点，再拍第二个连通分支中点，则形式必为[A11,0;0,A22]。

• 定理1：则aij(k)表示顶点vi到顶点vj的途径长度为k的途径条数。

  • 该定理的证明，数学归纳法
  • 推论：A2的元素aii(2)是vi的度数，A3的的元素是含vi的三角形个数的2倍
  • 该定理多用于简单的填空题

关联矩阵

• 关联矩阵中各个元素代表着各个点和每条边的关联次数，0代表无关系，1代表相关联，2代表成环。行是节点，列是边
• 关联矩阵的元素为0,1或2
• 关联矩阵的每列和为2，每行的和为对应顶点度数

路与图的连通性

途径

• 有限非空序列，点边的交替

迹

• 边不重复的途径，点可重复

路

• 点不重复

距离

• 最短路
• 如果没有路，则不连通，距离为无穷大

连通图

• 任意两点是连通的

连通分支

图的直径

• 图中任意两点，距离最大则为图的直径
• 如若图不连通，则图的直径为无穷大

连通性性质

• 定理1：如若图不连通，则其补图连通

偶图的判定定理

• 充要条件：图不含奇圈

• 这里的证明看一下

  • 充分性：任选一点u，按照与u的距离是奇数还是偶数分开，然后证明其中奇数或者偶数的点集内部不可能相连。v与w来自X，证明思路是假设路uv和路uw相交于m点，则um和um肯定距离相同，（要么两条最短路，要么重合），然后剩下的mv,mw奇偶性相同，此时如果v，w相连，则mvwm成了奇圈，矛盾，所以它们不相连。