Wiener维纳滤波基本原理及其算法实现

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1.算法背景：

信号滤波的实质为从观测信号中提取有效信号，随着数学理论的发展与实际应用的需求，基于不同原理的滤波方法被不断地提出来，虽然依据的准则，推导的过程各有差异，但最终的目的均是减小信号估计的误差，使滤波系统的输出信号尽可能地接近实际信号。
Wiener滤波是第二次世界大战中，为了解决火力控制系统精确跟踪问题，Wiener相继提出了平稳随机过程的最优线性滤波理论，首次将数理统计知识和线性系统理论联系起来，形成了对随机信号作平滑，滤波和预测的最新估计理论。在此后的发展中，Wiener滤波被应用于更多的领域，并沿用至今。

2.算法原理：

（1）有限长滤波器
对于一列输入信号x，一般的无限长线性滤波器输出为：

• y(n)= Σh(m)x(n-m) m=0…∞

实际中，滤波器的长度，即阶数是有限长的，设为M，则有：

• y(n)= Σh(m)x(n-m) m=0…M

即滤波器的当前时刻输出为前M个时刻的值经过加权之后得到的。
为便于书写与理解，上式可以写为矩阵形式：

• y(n)=H(m)*X(n)

如果期望信号d已知，则可以计算输出与期望信号之间的误差：

• e(n)=d(n)-y(n)= d(n)- H(m)*X(n) m=0…M

Wiener滤波的目标就是，如何确定一个长为M的系数序列H，使得上述误差值最小。
（2）最小均方误差滤波
根据目标函数的不同，又可以将滤波算法细分为不同的类别，一般来说有最小均方误差，最小二乘误差等等，这里只讨论最小均方误差。
令目标函数为：

• Min E[e(n)^2]= E[(d(n)- H(m)*X(n))^2]

当滤波器的系数最优时，目标函数对系数的倒数应该为0，即：

• dE[e(n)^2]/dH=0
• 2 E[ (d(n)- H(m)X(n))] X(n)=0
• E[(d(n) X(n))- H(m)E[X(n)X(n)]=0

根据随机过程的知识，上式可以表达为：

• Rxd-H*Rxx=0

其中Rxd与Rxx分别为输入信号与期望信号的相关矩阵与输入信号的自相关矩阵。
从而有：

• H=Rxx-1*Rxd

至此，便得到了Wiener滤波的基本原理与公式推导。

3.算法应用与实现

理解了算法的原理之后，下边举一个小的例子来考察如何应用Wienar滤波处理实际问题。
问题背景：一个点目标在x，y平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。其中，x方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。
问题分析与思路：
将物体的运动轨迹分解为X方向和Y方向，并假设两个方向上运动相互独立。分别将运动轨迹离散为一系列点，作为滤波器的输入，分别在两个方向上进行滤波，最终再合成运动轨迹。
程序设计思路：
生成期望信号-添加噪声-计算相关矩阵-求解最佳滤波器系数-滤波运算-输出信号-合成轨迹

4.源代码

%***********************************************
%该程序使用Wiener滤波方法对圆周运动轨迹进行控制
%信号模型：d=s+no  观测信号=期望信号+噪声信号
%进行一次Wiener滤波，得到最佳滤波器系数
17.4  by Howie
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N=500;
theta=linspace(0,2*pi,N);           %极坐标参数
s_x=cos(theta);                     %x，y方向上的期望信号
s_y=sin(theta);
no_x=normrnd(0,sqrt(0.05),1,N);     %高斯白噪声
no_y=normrnd(0,sqrt(0.06),1,N);
d_x=s_x+no_x;                       %观测信号
d_y=s_y+no_y;
M=500;%M为滤波器的阶数
%% 对x方向上数据进行滤波
rxx=xcorr(d_x);
Rxx=zeros(N);
% temp=toeplitz(rxx);
for i=1:N                             %观测信号的相关矩阵
    for j=1:N
        Rxx(i,j)=rxx(N+i-j);
    end
end

rxd=xcorr(s_x,d_x);                      %观测信号与期望信号的相关矩阵
Rxd=rxd(N:N+M-1);                        %向量而非矩阵
hopt_x=Rxx\Rxd';
% de_x=conv(hopt_x,d_x);
de_x=zeros(1,N);
for n=1:N
   for i=1:n-1
       de_x(n)=de_x(n)+hopt_x(i)*d_x(n-i);
   end
end
de_x(1:2)=d_x(1:2);
ems_x=sum(d_x.^2)-Rxd*hopt_x;
e_x=de_x-s_x;
% de_x(N-1:N)=d_x(N-1:N);
%% 对y方向上数据进行滤波 处理思路同x方向
ryy=xcorr(d_y);
Ryy=zeros(N);
for i=1:N
    for j=1:N
        Ryy(i,j)=ryy(N+i-j);
    end
end
% temp=toeplitz(ryy);
% Ryy=temp(1:M,N:N+M-1);

ryd=xcorr(s_y,d_y);
% temp=toeplitz(ryd);
% Ryd=temp(1:N,N:length(temp));
Ryd=ryd(N:N+M-1);
hopt_y=Ryy\Ryd';
% de_y=conv(hopt_y,d_y);
de_y=zeros(1,N);
for n=1:N
   for i=1:n-1
       de_y(n)=de_y(n)+hopt_y(i)*d_y(n-i);
   end
end
de_y(1:2)=d_y(1:2);
ems_y=sum(d_y.^2)-Ryd*hopt_y;
e_y=de_y-s_y;
% de_y(N-1:N)=d_y(N-1:N);
%% plot
figure
plot(s_x,s_y,'r','linewidth',2)
hold on
plot(d_x,d_y,'b')
hold on
plot(de_x,de_y,'k-')
title('维纳滤波预测轨迹')
legend('期望轨迹','观测轨迹','滤波轨迹')
%% %% x方向上绘图
figure
suptitle('X方向上维纳滤波效果')
subplot(321)
plot(s_x)
title('期望信号')
subplot(322)
plot(no_x)
title('噪声信号')
subplot(323)
plot(d_x)
title('观测信号')
subplot(324)
plot(de_x)
title('滤波后信号')
subplot(325)
plot(ems_x,'o')
title('最小均方误差')
subplot(326)
plot(e_x)
title('绝对误差')
%% y方向上绘图
figure
suptitle('Y方向上维纳滤波效果')
subplot(321)
plot(s_y)
title('期望信号')
subplot(322)
plot(no_y)
title('噪声信号')
subplot(323)
plot(d_y)
title('观测信号')
subplot(324)
plot(de_y)
title('滤波后信号')
subplot(325)
plot(ems_y,'o')
title('最小均方误差')
subplot(326)
plot(e_y)