【Leetcode】496. Next Greater Element I

题目地址：

https://leetcode.com/problems/next-greater-element-i/

题目大意是，给定两个数组nums1和nums2，前者是后者的子集。对于每个nums1里的元素，求它在nums2里的右边数字中第一个比它大的元素，若不存在则规定答案为-1。例如，若$nums1=[4,1,2],nums2=[1,3,4,2]$，那么答案就是$[-1,3,-1]$。这一道题是经典的单调栈的应用。基本思路是，将nums2的元素依次push进一个栈，并维护栈元素的单调递减性。也即，如果发现栈顶元素已经小于下一个要push的元素，那就可以认定这个栈顶元素所对应的下一个最大元素就是要push的这个元素，于是将栈顶pop出，直到栈空或者栈顶大于该元素。拿上面的例子举例，先push 1进栈，接着试图push 3进栈，发现栈顶元素1小于3，所以1的下一个最大元素就是3，那就将1 pop，此时栈空，再把3 push，紧接着发现4比3大，重复如此操作，pop 3 push 4，接下来由于push 2没有违反单调性，所以再push 2。每当pop元素的时候就用一个HashMap记录该元素的下一个最大元素，最后再整理返回。代码如下：

import java.util.Arrays;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Stack;

class Solution {
    public int[] nextGreaterElement(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[] res = new int[nums1.length];
        // 特判
        if (nums2 == null || nums2.length == 0) {
            Arrays.fill(res, -1);
            return res;
        }
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
   
        for (int i = 0; i < nums2.length; i++) {
        	// 当栈顶元素小于将push的元素，就用map做记录并pop出
            while (!stack.isEmpty() && stack.peek() < nums2[i]) {
                map.put(stack.pop(), nums2[i]);
            }
            stack.push(nums2[i]);
        }
    
        for (int i = 0; i < nums1.length; i++) {
            res[i] = map.getOrDefault(nums1[i], -1);
        }
        
        return res;
    }
}

时间空间复杂度都为$O(nums2.length)$。

算法复杂度证明只需注意map.put(stack.pop(), nums2[i]);一共执行了$O(nums2.length)$次。

算法正确性证明：
对于第一个循环，先证明一个结论：当循环$i$结束时，有：
1，栈非空，元素严格单调递减
2，map里已经存储了$nums2[0,...,i-1]$中所有next greater element在$nums2[1,...,i]$里的那个数和它的next greater element组成的pair，且map的所有key都已经出栈。

数学归纳法：当$i=0$时，循环结束时$nums[0]$进栈，map此时为空，两条性质都满足。假设当$i=k$时结论成立，当$i=k+1$时，当循环结束时，由于比$nums[k+1]$小于等于的元素都出栈了，由归纳假设，在$nums[k+1]$进栈前，栈要么为空，要么也是单调递减的，所以它进栈后，非空和单调性都成立。对于性质2，当$i=k+1$的循环开始时，若栈为空，那么该循环结束时栈里只有一个元素，map没有新put一个entry，性质2满足；若栈不为空，由归纳假设中map的性质，栈内所有元素的next greater element都不在$nums2[0,...,k]$里，此时若$nums[k+1]$大于栈顶元素，那么栈顶元素的next greater element一定是$nums[k+1]$，于是栈顶元素出栈，并且map中put进这个元素和它的next greater element$nums[k+1]$，如此操作，直到栈顶元素大于$nums[k+1]$（因为nums2元素彼此不同，所以这里是大于而不是大于等于），此时栈内元素的next greater element不在$nums2[0,...,k+1]$中，并且map新put了所有next greater element是$nums[k+1]$的pair，结合归纳假设，性质2成立。

算法的正确性由$i=n$的循环结束时的性质2得出。证毕。