12球称重问题, 算法及其他
数学分析: http://blog.tianya.cn/blogger/post_show.asp?BlogID=2499219&PostID=20677715
代码实现: http://blog.csdn.net/cifry/article/details/1912384
第一：有12个外观完全一样的球；
第二：11个是好球，重量相同；
第三：有一个球是“坏球”，重量与其他11个球异常，但不知偏轻偏重！
第四：有一架天平，无砝码；
问：怎样用该天平称量3次，找出重量异常的球！
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先论证可行性:
再来看看牛人的解答吧，从另一个角度看东东，特别牛！！！
从信息论来看，12个球一个重量异常，出现概率1/12；该球质量可能轻也可能重，那么出现概率为1/2。
那么要得到结果所需信息量为log2+log12。
称一次可能有轻、重、相等三种结果，信息量为log3。log24/log3<3，三次应该能称出来。
信息论运用到这种地步，实在是精辟啊。
（说实话，本人只看得懂一部分，信息论好强。）
（参见 David J.C. MacKay 的“Information Theory, Inference, and Learning Algorithms”）
首先考察一个这个题目的性质。
要求从12个球中找出一个次品球来可以归结为一种态空间的搜索。
12个球可以具有很多状态，
例如第一个球是重球，而其它球是正常球，
或者第三球是轻球，而其它球是正常球。
12个球，每个球都可能是重球或者轻球，所以共有24个可能的状态。
标记为1+, 1-, 2+, ..., 12+, 12-。
注意这里我们已经省略了对正常球的描述，而认为它们是一种背景情况。
我们的任务是确定12个球到底处在这24种状态的哪一个。
再来看看我们所具有的搜索手段。
我们只有一架天平，可以将其看作一种指标函数，
其输出有三种：左重右轻，左轻右重，平衡。
所以一次称量我们可以在态空间中进行一次三分操作，
而将搜索空间缩小到态空间中的某一部分。
考虑到最坏的情况，每次我们都可能落入较大的搜索空间，
所以应该尽量进行三等分。
举个例子,
□□□□□□X□□□□□□□□□□Y□□□□□□□□□□Z
□□□□1+ 2+ 3+ 4+□□□□5+ 6+ 7+ 8+ □□□□9+ 10+ 11+ 12+
□□□□1- 2- 3- 4-□□□□5- 6- 7- 8- □□□□9- 10- 11- 12-
如果我们称量X和Y, 如果平衡，则次品球必在Z中。
如果 X > Y，则我们可以排除X中的1-,2-,3-,4-以及Y中的5+,6+,7+,8+等状态。
无论如何，最终只会剩下8个待选状态。
最后明确一下我们在继续称量的过程中需要注意的问题：如何才能最大限度的获取信息。
假设 X > Y, 则剩下1+ 2+ 3+ 4+ 5- 6- 7- 8-这8个状态。
继续称量必须将这8个状态打乱放置到天平两侧，而且要注意到尽量均衡。
比如说我们现在选择称量1+和5-。
显然，现在的结果只能是左重右轻或者平衡，因为根据我们的知识可以排除左轻右重的情况。
而如果比较1+和2+，我们仍然可以得到三种情况。
只有在先验上我们认为两者绝对无法区分的情况下，比较才具有最大的意义。
具体如何称量下去，这里不讲了。只是强调一点，信息是我们意料之外的事情，这是信息论的要点。
最后，说一下如何称13个球吧。不过，只能找出来，不能保证知道坏球是轻是重。
还是分三组，A、B、C，C组5个球（C1,C2,C3,C4,C5）
第一次，还是称量 A :::: B；如果不相等，嘿嘿，和称12个球完全一样了！
如果 A == B，都是好球，C中有“坏球”；
很简单，
第二次，（A1,A2,A3）::::（C1,C2,C3）称量；
如果，==，（C4,C5）有“坏球”，随便哪一个与A1称即可；
如果，>，（C1,C2,C3）中有“坏球”，且坏球轻，再C1和C2称，即可；
如果，<，（C1,C2,C3）中有“坏球”，且坏球重，再C1和C2称，即可；
最后，对信息论的一点儿补充，权当给各位参考：
1）13球问题, 一共有26种可能的情况；
2）天平一次称量结果有3种情况(左偏,平衡,右偏), 3次称量最多有3^3=27种情况。
这说明3次确定出这26种情况是“有可能”的！
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答案很多种，也都很精彩！
正确的都是分成三组：A(A1,A2,A3,A4)、B(B1,B2,B3,B4)、C(C1,C2,C3,C4)
如果不分三组，嘿嘿，那肯定不对！
第一种方法：（分三组，A、B、C，各四个球）
(1)第一次：A :::: B，两组称量；
如果，A == B，A、B 组是好球，C 组（C1,C2,C3,C4）中有“坏球”；
(2)----第二次：（A1,A2）::::（C1,C2），称量； (这里只用了两个球称量!!!! )
----如果，（A1,A2）==（C1,C2），说明（C3,C4）中有“坏球”；
--------第三次：A1 :::: C3，称量；
--------如果，A1 == C3，说明 C3 是好球，结论是：C4 是“坏球”；
--------如果，A1 != C3，说明 C4 是好球，结论是：C3 是“坏球”；
----如果，（A1,A2）!=（C1,C2），说明（C1,C2）中有“坏球”；
--------第三次：A1 :::: C1，称量；
--------如果，A1 == C1，说明 C1 是好球，结论是：C2 是“坏球”；
--------如果，A1 != C1，说明 C2 是好球，结论是：C1 是“坏球”；
(3)如果，A != B，肯定 C 组是好球，
----有两种情况：（左）A > B（右）（A重），或 A < B（A轻）；
----以“A > B（A重，左 > 右）”为例，进行操作；
----第二次：天平左侧，A 组留1个球，与 B 组3个球配成一组；
---- 天平右侧，B 组还剩1个球，与 C 组3个球配成一组；
---- 即：（A1,B1,B2,B3）::::（B4,C1,C2,C3），称量；
----此时，将出现三种情况，左 == 右，左 > 右，左 < 右；
----如果，左 == 右，那么，问题球肯定在（A2,A3,A4）中，
---------------- 且因为（A重）为例，说明“坏球”是重的；
--------第三次：A2 :::: A3，称量；
--------如果，A2 = A3，都是好球，结论是：A4 是“坏球”；
--------如果，A2 > A3，结论是：A2 是“坏球”，且重；
--------如果，A2 < A3，结论是：A3 是“坏球”，且重；
----如果，左 > 右，（B1,B2,B3）移动后，未引起变化，是好球，
---------------- 问题球就是（A1,B4），要么A1重，要么B4轻；
--------第三次：C1 :::: A1，称量；
--------如果，C1 = A1，都是好球，结论是：B4 是“坏球”，且轻；
--------如果，C1 < A1，结论是：A1 是“坏球”，且重；
----如果，左 < 右，说明（B1,B2,B3）移位后，引起变化，有坏球，
---------------- 问题球在（B1,B2,B3）中，且“坏球”较轻；
--------第三次：B1 :::: B2，称量；
--------如果，B1 = B2，都是好球，结论是：B3 是“坏球”，且轻；
--------如果，C1 < A1，结论是：A1 是“坏球”，且重；
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其实，这道题的解法还有多种，
分别是对“第一种方法”中的(2)、(3)进行变化。
先说简单的：(2)的变化
前提是：第一次称量，A == B；
变化一
第二次称量：（A1,A2,A3）::::（C1,C2,C3）；
如果，==，那么，C4是“坏球”，想知轻重，与 A1 称一下即可；
如果，>，那么，（C1,C2,C3）中有坏球，坏球为轻；
--------第三次称量，C1 :::: C2，
--------如平衡，C3是“坏球”，不平衡，轻的是“坏球”；
如果，<，那么，（C1,C2,C3）中有坏球，坏球为重；
--------第三次称量，C1 :::: C2，
--------如平衡，C3是“坏球”，不平衡，重的是“坏球”；
变化二
第二次称量：（A1,C1）::::（C2,C3）；
如果，==，那么，C4是“坏球”，想知轻重，与 A1 称一下即可；
如果，>，那么，（C1,C2,C3）中有坏球，要么C1重，要么C2或C3轻；
--------第三次称量，C2 :::: C3，
--------如平衡，C1是“坏球”，且重；不平衡，轻的是“坏球”；
如果，<，那么，（C1,C2,C3）中有坏球，要么C1轻，要么C2或C3重；
--------第三次称量，C2 :::: C3，
--------如平衡，C1是“坏球”，不平衡，重的是“坏球”；
补充说明：这两种变化，比之前的要好，可以知道“坏球”的轻重！
第一种方法中的(2)，
有可能三次称量后，只能判断哪个是“坏球”，却不知是轻是重！