牛客网 合唱团

题目描述

有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？

输入描述:

每个输入包含 1 个测试用例。每个测试数据的第一行包含一个整数 n (1 <= n <= 50)，表示学生的个数，接下来的一行，包含 n 个整数，按顺序表示每个学生的能力值 ai（-50 <= ai <= 50）。接下来的一行包含两个整数，k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。

输出描述:

输出一行表示最大的乘积。

示例1

输入

3
7 4 7
2 50

输出

49

---

1. 题目分析

题目要求n各学生中选择k个，使这k个学生的能力值乘积最大。这是一个最优化的问题。另外，在优化过程中，提出了相邻两个学生的位置编号差不超过d的约束。

如果不用递归或者动态规划，问题很难入手，并且，限制条件d也需要对每一个进行约束，编程十分复杂

所以，解决的方法是采用动态规划（理由：1.求解的是最优化问题；2.可以分解为最优子结构）

2. 问题分解

• 对该问题的分解是关键

    从n个学生中，选择k个，可以看成是：先从n个学生里选择最后1个，然后在剩下的里选择k-1个，并且让这1个和前k-1个满足约束条件
 

• 数学描述

    为了能够编程实现，需要归纳出其递推公式，而在写递推公式之前，首先又需要对其进行数学描述

    记第k个人的位置为one,则可以用f[one][k]表示从n个人中选择k个的方案。然后，它的子问题，需要从one前面的left个人里面，选择k-1个，这里left表示k-1个人中最后一个（即第k-1个）人的位置，因此，子问题可以表示成f[left][k-1].
    （1）学生能力数组记为arr[n+1],第i个学生的能力值为arr[i]
    （2）one表示最后一个人，其取值范围为[1,n];
    （3）left表示第k-1个人所处的位置，需要和第k个人的位置差不超过d，因此max{k-1,one-d}<=left<=one-1

    在n和k定了之后，需要求解出n个学生选择k个能力值乘积的最大值。因为能力值有正有负，所以有：

    如上图所示：
    当one对应的学生能力值为正时，
        f[one][k] = max{f[left][k-1] * arr[i]}        (min{k-1,one-d}<=left<=one-1);
    当one对应的学生能力值为负时
        f[one][k] = max{g[left][k-1] * arr[i]}       (min{k-1,one-d}<=left<=one-1);
    此处g[][]是存储n个选k个能力值乘积的最小值数组

3. 编程实现

    归纳以上思想，我们现在编程实现，可以先根据变量习惯进行变更，得到相应的递推公式。我们从curK = 1递推到curK = K

---

解答：

N=int(input())
abilties=[int(each) for each in input().split()]
k,d=[int (each) for each in input().split()]
dp=[(each,each) for each in abilties]
for i in range(1,k):
    dp_=dp[:i]
    for j in range(i,N):
        templist=[]
        z_range_min=0
        if j-d>0:
            z_range_min=j-d
        for z in range(z_range_min,j):
            templist.append(abilties[j]*dp[z][0])
            templist.append(abilties[j]*dp[z][1])
        dp_.append((max(templist),min(templist)))
    dp=dp_
print(max([max(each) for each in dp]))

参考：

1. 合唱团
2. 《合唱团》算法解析（含思路解答示意图）【牛客网编程题——JAVA实现】