机器学习算法笔记：RBM受限玻尔兹曼机

玻尔兹曼机

玻尔兹曼机是一种存在隐节点的无向图模型。在图模型中最简单的是朴素贝叶斯模型（朴素贝叶斯假设），引入单个隐变量后，发展出了 GMM，如果单个隐变量变成序列的隐变量，就得到了状态空间模型（引入齐次马尔可夫假设和观测独立假设就有HMM，Kalman Filter，Particle Filter），为了引入观测变量之间的关联，引入了一种最大熵模型-MEMM，为了克服 MEMM 中的局域问题，又引入了 CRF，CRF 是一个无向图，其中，破坏了齐次马尔可夫假设，如果隐变量是一个链式结构，那么又叫线性链 CRF。

在无向图的基础上引入隐变量，即：把无向图的节点分为观测变量和隐变量两类，就是玻尔兹曼机，其实也就是含隐变量的马尔科夫随机场。这个图模型的概率密度函数是一个指数族分布。对隐变量和观测变量作出一定的限制，就得到了受限玻尔兹曼机（RBM）。

不同的概率图模型对下面几个特点作出假设：

• 方向-边的性质
• 离散/连续/混合-点的性质
• 条件独立性-边的性质
• 隐变量-节点的性质
• 指数族-结构特点

将观测变量和隐变量记为 $h=(h_1,\cdots ,h_m{)}^T$，$v=(v_1,\cdots ,v_n{)}^T$，其中 $p=m+n$，无向图根据最大团的分解，可以写为玻尔兹曼分布的形式（也是一个指数族分布）：
$$p(x)=\frac{1}{Z}\prod _{i=1}^K{\psi }_i(x_{ci})=\frac{1}{Z}\exp (-\sum _{i=1}^{K}E(x_{ci}))$$

$K$ 为最大团个数，$c_i$ 为最大团的节点集合，$x_{ci}$ 为最大团对应的随机变量集合，${\psi }_i(x_{ci})=\exp \{-E(x_{c_i})\}$ 为势函数（严格大于 0，所以一般取指数函数，$E$ 表示能量函数），$Z=\sum _X\prod _{i=1}^K{\psi }_i(x_{ci})=\sum _{X_1}\cdots \sum _{X_p}\prod _{i=1}^K{\psi }_i(x_{ci})$ 为归一化因子(partition function也叫配分函数，这里假设有 $p$ 个随机变量)。

受限玻尔兹曼机

玻尔兹曼机节点间关系过于复杂，计算难度和计算量都较高（即使是近似推断难度也很大），因此需要对其做一定程度的简化：假设所有隐变量内部以及观测变量内部没有连接，只在隐变量和观测变量之间有连接(类似神经网络的连接形式)，则：
$$\begin{array}{rl}& \underset{\downarrow }{p(x)}=\frac{1}{Z}\exp (-E(X)){}_{\text{指数部分进行了简化表示}}\\ & p(h,v)=\frac{1}{Z}\exp (-E(v,h))\end{array}$$

其中能量函数 $E(v,h)$ 可以写出三个部分，包括与节点集合相关的两项以及与边 $w$ 相关的一项，记为：
$$E(v,h)=-(\underset{edge}{h^{T}wv}+\underset{node}{{\alpha }^{T}v}+\underset{node}{{\beta }^{T}h})$$

所以RBM的 pdf：
$$\begin{array}{rl}p(x)& =\frac{1}{Z}\exp (h^{T}wv)\exp ({\alpha }^{T}v)\exp ({\beta }^{T}h)\\ & =\frac{1}{Z}\prod _{i=1}^m\prod _{j=1}^n\exp (h_i{w}_{ij}{v}_j)\prod _{j=1}^n\exp ({\alpha }_j{v}_j)\prod _{i=1}^m\exp ({\beta }_i{h}_i)\end{array}$$

上式和 RBM 的因子图一一对应。

推断

推断任务包括求后验概率 $\boxed{p(v|h)},\boxed{p(h|v)}$ 以及边缘概率 $\boxed{p(v)}$

对于一个无向图，满足局域的 Markov 性质，即内部无连接
$$p(h_1|h-h_1,v)=p(h_1|Neighbour(h_1))=p(h_1|v)$$

所以可以得到：
$$p(h|v)=\prod _{i=1}^{m}p(h_i|v)$$

Binary RBM

考虑 Binary RBM，所有的隐变量只有两个取值 $h_i\in \{0,1\}$： $$p(h_l=1|v)=\frac{p(h_l=1,h_{-l},v)}{p(h_{-l},v)}=\frac{p(h_l=1,h_{-l},v)}{p(h_l=1,h_{-l},v)+p(h_l=0,h_{-l},v)}$$

将能量函数写成和 $l$ 相关或不相关的两项：
$$\begin{array}{rl}& E(v,h)=-\left(\sum _{i=1,i\ne l}^m\sum _{j=1}^n{h}_i{w}_{ij}{v}_j+h_l\sum _{j=1}^n{w}_{lj}{v}_j+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{v}_j+\sum _{i=1,i\ne l}^m{\beta }_i{h}_i+{\beta }_l{h}_l\right)\end{array}$$

定义：$E(v,h)=h_l{H}_l(v)+\overline{H}(h_{-l},v)$
$$\{\begin{array}{rl}& h_l{H}_l(v)=h_l\sum _{j=1}^n{w}_{lj}{v}_j+{\beta }_l{h}_l{}_{\text{hl相关项}}\\ & \overline{H}(h_{-l},v)=\sum _{i=1,i\ne l}^m\sum _{j=1}^n{h}_i{w}_{ij}{v}_j+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{v}_j+\sum _{i=1,i\ne l}^m{\beta }_i{h}_i{}_{\text{hl无关项}}\end{array}$$

则有：
$$\begin{array}{rl}p(h_l=1|v)& =\frac{\frac{1}{Z}\exp \{1H_l(v)+\overline{H}(h_{-l},v)\}}{\frac{1}{Z}\exp \{1H_l(v)+\overline{H}(h_{-l},v)\}+\exp \{\overline{H}(h_{-l},v)\}}\\ & =\frac{1}{1+\exp \{-H_l(v)\}}\\ & =\sigma (H_l(v))\end{array}$$

于是就得到了后验概率 $\boxed{p(h|v)}$， 而后验概率 $\boxed{p(v|h)}$ 与其是对称的，可直接写出

求边缘概率 $\boxed{p(v)}$ 要消除 $h$：
$$\begin{array}{rl}p(v)& =\sum _{h}p(h,v)=\sum _h\frac{1}{Z}\exp (h^{T}wv+{\alpha }^{T}v+{\beta }^{T}h)\\ & =\exp ({\alpha }^{T}v)\frac{1}{Z}\sum _{h_1}\exp (h_1{w}_{1}v+{\beta }_1{h}_1)\cdots \sum _{h_m}\exp (h_m{w}_{m}v+{\beta }_m{h}_m){}_{\text{展开h}}\\ & =\exp ({\alpha }^{T}v)\frac{1}{Z}(1+\exp (w_{1}v+{\beta }_1))\cdots (1+\exp (w_{m}v+{\beta }_m)){}_{\text{h取0和1}}\\ & =\frac{1}{Z}\exp \left\{{\alpha }^{T}v+\sum _{i=1}^m\underset{softplus:\log (1+\exp (x))}{\log (1+\exp (w_{i}v+{\beta }_i))}\right\}\end{array}$$

其中 $w_i$ 为 $w$ 的行向量

参考文献

【1】受限玻尔兹曼机
【2】深度学习 — 受限玻尔兹曼机详解(RBM)