连猴子都看得懂的Floyd原理

Floyd的本质其实是一个动态规划思想。虽然它被直接用来做多源最短路，但是它其实经过拓展，可以解决很多奇奇怪怪的问题

本质

Floyd的本质是dp，它原本是个三维状态的dp，只不过为了缩小空间复杂度，在保证其正确性的情况下使用了二维，大部分参考书上也都只有二维，所以导致很多人无法透彻地理解这个算法，只能死背转移方程，甚至代码有时也会想当然地写错
我们来看看它的状态的定义：
f[ k ][ i ][ j ] 表示中间节点只经过1到k，i到j之间的最短路径
(g[ i ][ j ]表示边< i , j >的权值)
边界情况f[ 0 ][ i ][ j ]=g[ i ] j
转移方程：f[ k ][ i ][ j ]=min(f[ k-1 ][ i ][ j ],f[ k-1 ][ i ][ k ]+f[ k-1 ][ k ][ j ])
那么，转移方程是什么意思呢？
其实并不难理解

我们如上图，可以很显然地看出得出f[ k ][ i ][ j ]这个状态的两种方法
①直接取已知最小的f[ k-1 ][ i ][ j ]
②通过k作为中转点，求出i→k的最短距离和k→j最短距离的和
(即f[ k-1 ][ i ][ k ]+f[ k-1 ][ k ][ j ])
然后把它们比较一下取最小值就行了
那么问题来了，为什么i→k的最短路和k→j最短路只经过1到k-1的节点呢？
这个也不难想：
首先，由于k是你要求的路上的一个端点，所以它不会在路上，否则就明显不满足最短路
其次，这个状态是f[ k ][ i ][ j ]，所以很明显，这里不会经过编号大于k的节点，因此这个转移方程可以放心用
所以呢，Floyd本质的核心代码是这样的

void Floyd()
{
    for(int k=1;i<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dis[k][i][j]=min(dis[k-1][i][j],dis[k-1][i][k]+dis[k-1][k][j]);
}

只不过，由于当前的状态之和前一个状态有关，因此节省空间，演变成了一般参考书上的代码

for(int k=1;k<=n;k++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				if(i!=j && j!=k)
					if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
						dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];