渲染管线理解2
文章目录
- **1 视锥**
- **2 齐次坐标**
- **3 透视投影**
1 视锥
视锥把空间限制在一个6面的突面体，在这个空间的物体会被渲染，下图是一个截断的金字塔。
视图窗口大小，视角，视图距离。知道任意2个计算第三个变量。
视图窗口大小固定，调整视角(fov)，视角越大，视图距离(focus length)越小。
视角固定，调整视图距离，视图距离越大，视图窗口越大。
视锥通常有一个近平面，近平面距离一般不为0，因为之后做除法会有问题，在投影矩阵中讲。
远平面是可选择的，一般为了提高效率会设置一个圆平面，近平面和远平面的距离决定了深度(z)的精度。
2 齐次坐标
三维空间 R 3 R^3 R3中的点**(x,y,z)可以表示齐次坐标 R P 3 RP^3 RP3的点(x,y,z,1)**
在n维空间中的点在n+1维空间中可以通过变换n维空间点的尺度，并把这个尺度放到多出来的维度上。
( x , y , z ) → ( x ′ , y ′ , z ′ , w ) (x,y,z)\to(x',y',z',w) (x,y,z)→(x′,y′,z′,w)
即从三维空间到齐次坐标乘以一个尺度w，一般情况下w=1
( x w , y w , z w , w ) (xw,yw,zw,w) (xw,yw,zw,w)
从齐次坐标到三维坐标
( x ′ , y ′ , z ′ , w ) → ( x ′ / w , y ′ / w , z ′ / w ) (x',y',z',w)\to(x'/w,y'/w,z'/w) (x′,y′,z′,w)→(x′/w,y′/w,z′/w)
三维平面的点在齐次坐标系中有n个点，即不同的w，如果当w=0情况下， ( x ′ / w , y ′ / w , z ′ / w ) (x'/w,y'/w,z'/w) (x′/w,y′/w,z′/w)都无穷大，表示的是一个无穷远的点。通常在代码中，我们可以设置 ( x , y , z , 0 ) (x,y,z,0) (x,y,z,0)表示一个向量， ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1)表示一个顶点。
3 透视投影
假设视角(fov)为θ，我们采用和opengl一致的右手坐标系，看向-z轴，投影在yz平面上。焦距d计算如下：
tan θ 2 = 1 d → d = cot θ 2 \tan \frac{\theta}{2}=\frac{1}{d}\to d=\cot \frac{\theta}{2} tan2θ=d1→d=cot2θ
在规格化设备坐标（normalized device coordinates,ndc）中，即 x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1],y\in[-1,1] x∈[−1,1],y∈[−1,1]，我们投影在ndc坐标系中，投影yz平面如上， y v , z v y_v,z_v yv,zv表示在View空间的点， ( y n d c , − d ) (y_{ndc},-d) (yndc,−d)表示 y v , z v y_v,z_v yv,zv投影在 z = − d z=-d z=−d平面上的点，
y n d c y v = d − z v → y n d c = d − z v y v \frac{y_{ndc}}{y_v}=\frac{d}{-z_v}\to y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v yvyndc=−zvd→yndc=−zvdyv
假设平面宽高比为 a = w v h v a={w_v\over h_v} a=hvwv， w v , h v w_v,h_v wv,hv分别代表视窗的长和宽。同样要使得 y v y_v yv归一化到 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]
同理可以得到：
x n d c x v a = d − z v → x n d c = d − a z v x v \frac{x_{ndc}}{x_v\over a}=\frac{d}{-z_v}\to x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v axvxndc=−zvd→xndc=−azvdxv
即：
{ x n d c = d − a z v x v y n d c = d − z v y v \left\{ \begin{array}{ll} x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v\\ y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v \end{array} \right. {xndc=−azvdxvyndc=−zvdyv
总的公式如下：
{ x n d c = d − a z v x v y n d c = d − z v y v z n d c = − d \left\{ \begin{array}{ll} x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v\\ y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v\\ z_{ndc}=-d \end{array} \right. ⎩⎨⎧xndc=−azvdxvyndc=−zvdyvzndc=−d
所有的z坐标都变成了-d。不能表示成一个
线性或者是仿射变换。
齐次坐标中， R P 3 RP^3 RP3到 R 3 R^3 R3变换通过一个w量。
把w设为-zv，就可以处理这个非线性的变换。
{ x 齐 次 = d a x v ( d / a , 0 , 0 , 0 ) y 齐 次 = d y v ( 0 , d , 0 , 0 ) z 齐 次 = d z v ( 0 , 0 , d , 0 ) w = − z v ( 0 , 0 , − 1 , 0 ) \left\{ \begin{array}{ll} x_{齐次}=\frac{d}{a} x_v\qquad (d/a,0,0,0)\\ y_{齐次}=dy_v\qquad (0,d,0,0)\\ z_{齐次}=dz_v\qquad (0,0,d,0)\\ w = -z_v\qquad (0,0,-1,0) \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x齐次=adxv(d/a,0,0,0)y齐次=dyv(0,d,0,0)z齐次=dzv(0,0,d,0)w=−zv(0,0,−1,0)
w未使用
写成矩阵形式
[ x 齐 次 y 齐 次 z 齐 次 w ] = [ d a 0 0 0 0 d 0 0 0 0 d 0 0 0 − 1 0 ] [ x v y v z v 1 ] \left[ \begin{array}{c} x_{齐次}\\ y_{齐次}\\ z_{齐次}\\ w \end{array} \right]= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡x齐次y齐次z齐次w⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡ad0000d0000d−10000⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡xvyvzv1⎦⎥⎥⎤
我们引入了一个w来表示这个变换，对于第三行我们知道把齐次坐标转换到三维坐标经过除法w。保留 z z z的值用于深度测试。假设缩放到[-1,1](direx3D缩放到[0,1])。
假设近平面n和远平面f。那么z的坐标值分别为-n,-f。 [-n,-f]映射到[-1,1]
同样我们采用一个尺度A和平移B变换来表示
[ x 齐 次 y 齐 次 z 齐 次 w ] = [ d a 0 0 0 0 d 0 0 0 0 A B 0 0 − 1 0 ] [ x v y v z v 1 ] \left[ \begin{array}{c} x_{齐次}\\ y_{齐次}\\ z_{齐次}\\ w \end{array} \right]= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡x齐次y齐次z齐次w⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡ad0000d0000A−100B0⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡xvyvzv1⎦⎥⎥⎤
即
z n d c = A z v + B w = − A − B z v \left.z_{ndc}=\dfrac{Az_v+B}{w}=-A-\frac{B}{z_v}\right. zndc=wAzv+B=−A−zvB
把(-n,-1)，(-f,1)带入得到
A = n + f n − f B = 2 n f n − f A=\dfrac{n+f}{n-f}\\ B=\dfrac{2nf}{n-f} A=n−fn+fB=n−f2nf
把AB带入公式得到：
M p e r s p e c i t v e = [ d a 0 0 0 0 d 0 0 0 0 n + f n − f 2 n f n − f 0 0 − 1 0 ] M_{perspecitve}= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{n+f}{n-f} & \dfrac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} Mperspecitve=⎣⎢⎢⎢⎡ad0000d0000n−fn+f−100n−f2nf0⎦⎥⎥⎥⎤
z映射到[0,1]
M p e r s p e c i t v e = [ d a 0 0 0 0 d 0 0 0 0 f n − f n f n − f 0 0 − 1 0 ] M_{perspecitve}= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{f}{n-f} & \dfrac{nf}{n-f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} Mperspecitve=⎣⎢⎢⎢⎡ad0000d0000n−ff−100n−fnf0⎦⎥⎥⎥⎤