各种想法都有自己的一席之地，但是时间会剔除许多细节。
P＝(x0,y0) 是抛物线 y＝x2 上的任意一个定点，如图1所示。作为基本思想的第一个图例，给定抛物线上一点 P ，计算切线的斜率。首先，我们选择曲线上的一个临近点 Q=(x1,y1) 。接下来，我们画出由这两点确定的割线 PQ ，割线的斜率明显是：
msec=slope of PQ=y1−y0x1−x0(1)
图1
现在是关键的一步︰我们让 x1 靠近 x0 ，以便点 Q 接近定点 P ，就像一串沿着线滑动的佛珠。这样的话，割线开始改变方向并明显接近 P 。而且，直观上来看，切线的斜率是割线斜率计算得到的极限值。用标准符号来表达就是:
m=limQ→P msec=limx1→x0y1−y0x1−x0(2)
缩略词“lim”且下方有“
x1→x0 ”读作“当
x1 趋向
x0 ，…的极限是”。
我们不能简单的设置 x1=x0 来计算极限值 m ，因为那样的话 y1=y0 并且给出了无意义的结果：
m=y0−y0x0−x0=00
我们必须将
x1 看做非常接近
x0 而有别于它。然而，当
x1 趋进
x0 时，
y1−y0 和
x1−x0 变的非常小，他们商的极限值是多少并不清楚。
解决这个困难的办法是用曲线的方程。因为 P 和 Q 都落在曲线上，我们有 y0＝x20 和 y1＝x21 ，所以（1）可以写成：
msec=y1−y0x1−x0=x21−x20x1−x0(3)
分子变小的原因是它的一个因子包含分母。如果约掉这个公因子，得到：
msec=y1−y0x1−x0=x21−x20x1−x0=(x1−x0)(x1+x0)x1−x0=x1+x0
（2）式就变成：
m=limx1→x0y1−y0x1−x0=limx1→x0(x1+x0)
现在明显的看到：当
x1 越来越接近
x0 时，
x1+x0 越来越接近于等式
x1+x0=2x0 。相应的：
m=2x0(4)
是曲线
y＝x2 在点
P(x0,y0) 处切线的斜率。
例1:点（1,1）和（-1/2,1/4）在抛物线 y＝x2 （图2）上。根据（4），这些点切线的斜率是 m=2 ， m=−1 。用直线的点斜方程，两条切线明显有两个方程：
y−1x−1=2y−14x+12=−1
同样的，
y−x20x−x0=2x0
是点
（x0,x20） 处的切线方程。
图2
现在我们介绍一个被广泛使用的符号，读作delta。
刚刚描述的过程从独立变量 x 的变化量开始。这种变化量的标准符号是 Δx ，所以
Δx=x1−x0(5)
是
x 从第一个值到第二个值的变化量。我们也可以将第二个值看成是第一个值加上变化量得到的：
x1=x0+Δx(6)
x 不是一个数
Δ 和一个数
x 的乘积，而是一个数，叫做
x 的增量。增量
x 可以为正也可以为负。因此，如果
x0=1，x1=3 ，那么
x=3−1=2 ；如果
x0=1，x1=−2 ，那么
x=−2−1=−3 。
字母 Δ 是希腊字母 d ；当它写在一个变量前面时，它表示该变量两个值之差。这个简单的符号是极为方便的，几乎扩展到数学和科学的每个部分。我们用它来重写上述计算过程。
将（5）或（6）带入（3）的：
msec=x21−x20x1−x0=(x0+Δx)2−x20Δx(7)
这一次没有分解分子，我们增加了它的第一项，化简得：
(x0+Δx)2−x20=x20+2x0Δx+(Δx)2−x20=2x0Δx+(Δx)2=Δx(2x0+Δx)
所以（7）变为：
msec=2x0+Δx
如果我们将它带入（2），利用
x1→x0 等价于
Δx→0 ，我们发现：
m=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0
跟之前的结果一样。再次看到指定的极限过程发生了什么：随着
x 越来越趋近于
0 ，
2x0+Δx 越来越趋近于
2x0 。
第二种方法（即使用delta符号）取决于扩大 (x0+x)2 ，而第一种取决于分解表达式 x21−x20 。这种特定情况下，两种计算明显比其他方法容易。然而，第二种比第一种容易，为此我们采用增量作为我们的标准过程。
我们只进行了抛物线 y=x2 的计算，理论上，任何函数 y=f(x) （图3）都可以用此计算进行描述。我们首先计算通过两个点 P 和 Q （对应于 x0 和 x0+x ）割线的斜率：
msec=f(x0+Δx)−f(x0)Δx
然后计算
x 趋进0时
msec 的极限，得到一个数
m ，几何上它是曲线上点
P 割线的斜率：
m=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
这个极限值经常用
f′(x0) 表示，来强调它依赖于点
x0 和函数
f(x) 。因此，根据定义我们有：
f′(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Δx(8)
上面给出的计算结果也可以表示为：如果
f(x)=x2 ，则
f′(x0)=2x0 。
图3
例2:计算 f′(x0) 其中 f(x)=2x2−3x
解：（8）中的分子是：
f(x0+Δx)−f(x0)=[2(x0+Δx)2−3(x0+Δx)]−[2x20−3x0]=2x20+4x0Δx+2(Δx)2−3x0−3Δx−2x20+3x0=4x0Δx+2(Δx)2−3Δx=Δx(4x0+2Δx−3)
因此（8）变为：
f(x0+Δx)−f(x0)Δx=Δx(4x0+2Δx−3)
f′(x0)=limΔx→0Δx(4x0+2Δx−3)=4x0−3
我们根据假设得到 (8)，即曲线有单一明确的切线。这的确是个假设，因为一些曲线并没有这种切线(图4)。然而，当切线存在时，它显然需要割线
PQ 靠近极限位置，无论
Q 是从右还是从左。这两种方法区别在于
x 靠近0时是只通过正值还是只通过负值。当极限存在时，两个方向靠近得到的极限值相同，这是（8）含义的一部分。
图4
