零知识证明 - 从QSP到QAP

前一段时间，介绍了零知识证明的入门知识，通过QSP问题证明来验证另外一个NP问题的解。最近在看QAP问题相关的文章和资料，这篇文章分享一下QAP问题的理解。

0 背景介绍

QSP/QAP问题的思想都是出自2012年一篇论文：Quadratic Span Programs and Succinct NIZKs without PCPs。论文的下载地址：https://eprint.iacr.org/2012/215.pdf。

这篇论文提出了使用QSP/QAP问题，而不使用PCP方式，实现零知识证明。

1 术语介绍

SP - Span Program ，采用多项式形式实现计算的验证。

QSP - Quadratic Span Program，QSP问题，实现基于布尔电路的NP问题的证明和验证。

QAP - Quadratic Arithmetic Program，QAP问题，实现基于算术电路的NP问题的证明和验证，相对于QSP，QAP有更好的普适性。

PCP - Probabilistically Checkable Proof ，在QSP和QAP理论之前，学术界主要通过PCP理论实现计算验证。PCP是一种基于交互的，随机抽查的计算验证系统。

NIZK - Non-Interactive Zero-Knowledge，统称，无交互零知识验证系统。NIZK需要满足三个条件：1/ 完备性(Completeness)，对于正确的解，肯定存在相应证明。 2/可靠性 (Soundness) ，对于错误的解，能通过验证的概率极低。3/ 零知识。

SNARG - Succinct Non-interactive ARGuments，简洁的无须交互的证明过程。

SNARK - Succinct Non-interactive ARgumentss of Knowledge，相比SNARG，SNARK多了Knowledge，也就是说，SNARK不光能证明计算过程，还能确认证明者“拥有”计算需要的Knowledge（只要证明者能给出证明就证明证明者拥有相应的解）。

zkSNARK - zero-knowledge SNARK，在SNARK的基础上，证明和验证双方除了能验证计算外，验证者对其他信息一无所知。

Statement - 对于QSP/QAP而言，某个计算电路的输入。Statement对证明者和验证者都是公开的。

Witness - Witness只有证明者知道。可以理解成，某个计算电路的输出（output）。

2 QAP问题和算术电路

QAP的定义和QSP的定义有些相似（毕竟都是一个思想理论的两种形式）。论文中给出了QAP的一般定义和强定义。QAP的强定义如下：

QAP问题是这样一个NP问题：给定一系列的多项式，以及给定一个目标多项式，找出多项式的组合能整除目标多项式。输入为n位的QAP问题定义如下：

• 给定多个多项式：$v_0,...,v_m,w_0,...,w_m,y_0,...,y_m$
• 目标多项式：$t$
• 映射函数：$f:\left\{(i,j)|1\le i\le n,j\in 0,1\right\}\to \left\{1,...m\right\}$ （确定输入对应的序号）

给定一个证据u（由Statement，Witness以及中间门电路的输出组成），满足如下条件，即可验证u是QAP问题的解：

• $(v_0(x)+{\sum }_{k=1}^m{a}_k\cdot v_k(x))\cdot (w_0(x)+{\sum }_{k=1}^m{b}_k\cdot w_k(x))-(y_0(x)+{\sum }_{k=1}^m{c}_k\cdot y_k(x))能整除t(x)$

对一个证据u，多项式之间的系数（$a_1,...,a_m,和b_1,...,b_m,以及c_1,...,c_m$ 相等）。

算术电路可以简单看成由如下的三种门组成：加门，系数乘法门以及通用乘法门（减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法）。Vitalik在2016年写过的QAP介绍，深入浅出的解释NP问题的算术电路生成和QAP问题的转化。推荐大家都读一读。

https://medium.com/@VitalikButerin/quadratic-arithmetic-programs-from-zero-to-hero-f6d558cea649

以Vitalik文章中的例子为例，算术逻辑（$x^3+x+5$）对应的电路如下图所示：

3 算术问题转化为QAP问题

把一个算术电路转化为QAP问题的过程，其实就是将电路中的每个门描述限定的过程，也就是所谓的R1CS （Rank-1 constraint system）。

3.1 算术电路拍平

算术电路拍平，就是用一组向量定义算术电路中的所有的变量（包括一个常量变量）。比如2中所示的电路，拍平之后的向量表示为$[one,x,out,sym\_1,y,sym\_2]$，其中one代表常量变量，x代表输入，out代表输出，其他是中间门电路的输出。

假设一个合理的电路向量值为$s-[s_0,s_1,s_2,s_3,s_4,s_5]$。

3.2 门描述

对于每个电路中的门进行描述，说清输入以及输出，采用$s\cdot a\ast s\cdot b-s\cdot c=0$的形式，其中$a,b,c$都是和电路向量长度一致的向量值。$s\cdot a,s\cdot b,s\cdot c$都是点乘。这种形式表达的是“乘法门”。可以简单的理解，$a,b,c和s$的点乘就是“挑选”向量中的变量，查看挑选出的变量是否满足$A\ast B=C$。

各个门对应的$a,b,c$的向量值如下：

门1 (查看$x\ast x是否等于sym\_1$）：

$a=[0,1,0,0,0,0]$

$b=[0,1,0,0,0,0]$

$c=[0,0,0,1,0,0]$

门2 (查看$sym\_1\ast x是否等于y$）：

$a=[0,0,0,1,0,0]$

$b=[0,1,0,0,0,0]$

$c=[0,0,0,0,1,0]$

门3 (查看$(x+y)\ast 1是否等于sym\_2$）：

$a=[0,1,0,0,1,0]$

$b=[1,0,0,0,0,0]$

$c=[0,0,0,0,0,1]$

门4 (查看$(5x+sym\_2)\ast 1是否等于out$）：

$a=[5,0,0,0,0,1]$

$b=[1,0,0,0,0,0]$

$c=[0,0,1,0,0,0]$

3.3 多项式表达

在门电路描述的基础上，将所有的门电路，转化为多项式表达。将$a,b,c$中的每个系数，看成一个多项式的结果（以a为例）：$a=[f_0(x),f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x),f_5(x)]$。

针对门1/门2/门3/门4，$f_0(x),f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x),f_5(x)$的取值不同。比如说，门1的a的$f_0(x)$为0。门2的a的$f_0(x)$为0。门3的a的$f_0(x)$为0。门4的a的$f_0(x)$为5。

设定门1对应的x为1，门2对应的x为2，门3对应的x为3，门4对应的x为4的话（这些值可以任意指定），会得到如下的等式：

$f_0(1)=0,f_0(2)=0,f_0(3)=0,f_0(4)=5$

在获知一系列的输入和输出的前提下，可以通过拉格朗日定理，获取多项式表达式。小伙伴可以通过如下的工具计算多项式：http://skisickness.com/2010/04/28/。

也就是说，a的$f_0(x)=-5+9.167x+-5x^2+0.833x^3$。同样的方式，可以算其他参数的$f_0(x),f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x),f_5(x)$。再把这些多项式代入$s\cdot a\ast s\cdot b-s\cdot c=0$，在正确的$s向量值$的情况下，1/2/3/4能让等式成立，也就是说，多项式$s\cdot a\ast s\cdot b-s\cdot c$能整除$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$。这样，一个算术电路就转化为了QAP问题。

4 QAP问题的zkSNARK证明

QAP问题的zkSNARK证明过程和QSP有点类似。skSNARK证明过程分为两部分：a) setup阶段 b）证明阶段。QAP问题就是给定一系列的多项式$v_0,...,v_m,w_0,...,w_m,y_0,...,y_m$以及目标多项式$t$，证明存在一个证据$u$。这些多项式中的最高阶为$d$。

4.1 setup和CRS

CRS - Common Reference String，也就是预先setup的公开信息。在选定$s$和$\alpha$的情况下，发布如下信息：

• $s$和$\alpha$的计算结果

  $$E(s^0),E(s^1),...,E(s^d)$$

  $E(\alpha s^0),E(\alpha s^1),...,E(\alpha s^d)$

• 多项式的$\alpha$对的计算结果
  $$E(t(s)),E(\alpha t(s))$$

  $$E(v_0(s)),...E(v_m(s)),E(\alpha v_0(s)),...,E(\alpha v_m(s))$$

  $$E(w_0(s)),...E(w_m(s)),E(\alpha w_0(s)),...,E(\alpha w_m(s))$$

  $$E(y_0(s)),...E(y_m(s)),E(\alpha y_0(s)),...,E(\alpha y_m(s))$$

• 多项式的${\beta }_v,{\beta }_w,{\beta }_y,\gamma$ 参数的计算结果

  $$E(\gamma ),E({\beta }_v\gamma ),E({\beta }_w\gamma ),E({\beta }_y\gamma )$$

  $$E({\beta }_v{v}_1(s)),...,E({\beta }_v{v}_m(s))$$

  $$E({\beta }_w{w}_1(s)),...,E({\beta }_w{w}_m(s))$$

  $$E({\beta }_y{y}_1(s)),...,E({\beta }_y{y}_m(s))$$

  $$E({\beta }_{v}t(s)),E({\beta }_{w}t(s)),E({\beta }_{y}t(s))$$

4.2 证明者提供证据

在QAP的映射函数中，$1,...,m$中有些数字没有映射到，也就是除了输入之外的序号。这些没有映射到的序号（中间门电路和输出）组成$I_{free}$，并定义（$k$为未映射到的序号）：

$$v_{free}(x)=\sum _k{a}_k{v}_k(x)$$

证明者需提供的证据如下

• $$V_{free}:=E(v_{free}(s)),W:=E(w(s)),Y:=E(y(s)),H:=E(h(s)),$$
• $$V_{free}^{\prime }:=E(\alpha v_{free}(s)),W^{\prime }:=E(\alpha w(s)),Y^{\prime }:=E(\alpha y(s)),H^{\prime }:=E(\alpha h(s)),$$
• $$P:=E({\beta }_v{v}_{free}(s)+{\beta }_{w}w(s)+{\beta }_{y}y(s))$$

$V_{free}/V_{free}^{\prime },W/W^{\prime },Y/Y^{\prime },H/H^{\prime }$是$\alpha$对，用以验证$v_{free},w,y,h$是否是多项式形式。$t$是已知，公开的，毋需验证。$P$用来确保$v_{free}(s),w(s)和y(s)$的计算采用一致的参数。

4.3 验证者验证

在QAP的映射函数中，$1,...,m$中所有映射到的序号（输入序号）作为组成系数组成的二项式定义为（和$v_{free}$互补）：

$$v_{in}(x)=\sum _k{a}_k{v}_k(x)$$

验证者需要验证如下的等式是否成立：

• $$e(V_{free}^{\prime },g)=e(V_{free},g^{\alpha }),e(W^{\prime },E(1))=e(W,E(\alpha )),e(Y^{\prime },E(1))=e(Y,E(\alpha )),e(H^{\prime },E(1))=e(H,E(\alpha ))$$
• $$e(E(\gamma ),P)=e(E({\beta }_v\gamma ),V_{free})e(E({\beta }_w\gamma ),W)e(E({\beta }_y\gamma ),Y)$$
• $$e(E(v_0(s))E(v_{in}(s))V_{free},E(w_0(s))W)=e(H,E(t(s)))e(y_0(s)Y,E(1))$$

第一个（系列）等式验证$V_{free}/V_{free}^{\prime },W/W^{\prime },Y/Y^{\prime },H/H^{\prime }$是否是$\alpha$对。

第二个等式验证$V_{free},W,Y$的计算采用一致的参数。因为$v_{free},w,y$都是二项式，它们的和也同样是一个多项式，所以采用$\gamma$ 参数进行确认。证明过程如下：

$$e(E(\gamma ),P)=e(E(\gamma ),E({\beta }_v{v}_{free}(s)+{\beta }_{w}w(s)+{\beta }_{y}y(s)))=e(g,g{)}^{\gamma ({\beta }_v{v}_{free}(s)+{\beta }_{w}w(s)+{\beta }_{y}y(s))}$$

$e(E({\beta }_v\gamma ),V_{free})e(E({\beta }_w\gamma ),W)e(E({\beta }_y\gamma ),Y)=e(E({\beta }_v\gamma ),E(v_{free}(s)))e(E({\beta }_w\gamma ),E(w(s)))e(E({\beta }_y\gamma ),E(y(s)))$

$=e(g,g{)}^{({\beta }_v\gamma )v_{free}(s)}e(g,g{)}^{({\beta }_w\gamma )w(s)}e(g,g{)}^{({\beta }_y\gamma )y(s)}=e(g,g{)}^{\gamma ({\beta }_v{v}_{free}(s)+{\beta }_{w}w(s)+{\beta }_{y}y(s))}$

第三个等式验证$v(s)w(s)-y(s)=h(s)t(s)$，其中$v_0(s)+v_{in}(s)+v_{free}(s)=v(s)$。

简单的说，逻辑是确认$v,w,y,h$是多项式，并且$v,w,y$采用同样的参数，满足$v(s)w(s)-y(s)=h(s)t(s)$。

到目前为止，整个QAP的zkSNARK的证明过程逻辑已见雏形。

4.4 $\delta$ 偏移

为了进一步“隐藏” $V_{free},W,Y$，额外需要采用两个偏移: ${\delta }_{free},{\delta }_w和{\delta }_y$。 $v_{free}(s)/w(s)/y(s)/h(s)$进行如下的变形，验证者用同样的逻辑验证。

$$v_{free}(s)\to v_{free}(s)+{\delta }_{free}t(s)$$
$$w(s)\to w(s)+{\delta }_{w}t(s)$$
$$y(s)\to y(s)+{\delta }_{y}t(s)$$
$$h(s)\to h(s)+{\delta }_{free}(w_0(s)+w(s))+{\delta }_w(v_0(s)+v_{in}(s)+v_{free}(s))+({\delta }_{free}{\delta }_w)t(s)-{\delta }_y$$

总结：QAP和QSP问题类似。QSP问题主要用于布尔电路计算表达，QAP问题主要用于算术电路计算表达。将一个算术电路计算转化为QAP问题的过程，其实就是对电路中每个门电路进行描述限制的过程。通过朗格朗日定理，实现算术电路的多项式表达。QAP问题的zkSNARK的证明验证过程和QSP非常相似。