递归式复杂度求解

代换法

1. 猜测复杂度
2. 验证是否满足递归式（使用归纳法）
3. 找到常数应该满足的条件
4. 针对基本情况，常数足够大时总是成立的

需要注意的是，我们猜测的复杂度有可能不满足递归式，这个时候就要通过减去一些低阶项来使得归纳成立。

对递归式$T(n)=4T(n/2)+Cn$
我们假设$T(n)=\Theta (n^2)⩽C_1{n}^2-C_{2}n$，下面进行归纳证明：
假设k$T(k)⩽C_1{k}^2-C_{2}k$
$T(n)⩽4(C_1\frac{n^2}{4}-C_2\frac{n}{2})+Cn=C_1{n}^2-C2n-(C2-C)n⩽C_1{n}^2-C_{2}n$当$C_2>C$时成立。

对于基本情况，当$C_1$足够大的时候成立。

因此，$T(n)=\Theta (n^2)$

递归树法

• 将递归式写成递归式求和的形式
• 逐层求和：一般来讲会有规律

对于$T(n)=T(n/4)+T(n/2)+n^2$

发现系数是等比数列，进行求和

主方法

只能应用到特定的递归式上：$T(n)=aT(n/b)+f(n),a>1,b>1,f(n)$ is asymptotically postive

比较$f(n)$和$n^{lo{g}_{b}a}$

• 如果$f(n)$多项式地小于$n^{lo{g}_{b}a}$，$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$
• 如果$f(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}\cdot {lo{g}_2^n}^k)，k⩾0$，$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_b^a}\cdot {lo{g}_2^n}^{k+1})$
• 如果$f(n)$多项式地大于$n^{lo{g}_{b}a}$，而且$af(n/b)⩽(1-ϵ)f(n)$，则$T(n)=\Theta (f(n)$

其他

虽然上面的方法可以解决绝大部分问题，但是还有一些问题无法用上面的方法进行解决，需要使用一定的数学技巧。

例如，如果递归式中出现了指数运算，我们首先应该用幂次代替n，然后变成除法运算再得到结果。

例如：$T(n)=T(\sqrt[3]{n})+1$

我们首先令$n=2^k$，即$k=lo{g}_{2}n$。则：
$T(n)=T(2^{k/3})+1=...=T(1)+lo{g}_{3}k=lo{g}_{3}lo{g}_{2}n=loglogn$