（三）快速幂的证明和代码

今天的内容是$FastPower$快速幂，是编程中求幂的得力能手，一定要背下来哦。
注意：本篇对三目运算符做了一定的介绍。如果已对三目运算符有了解，可跳过“示例代码-铺垫”

做法

在求$x^p$时，若$p$为偶数，运算$(x^{p/2}{)}^2$，否则运算$(x^{p/2}{)}^2\ast x$。注意运算$p/2$是不四舍五入的整除。

证明

这个证明没有什么难的.
假设$p$是奇数，$p$整除$2=k$，那么$p=k+k+1$是显而易见的。

例如：$(3^{3/2}{)}^2\ast 3=(3^1{)}^2\ast 3=3^2\ast 3=3^3$
偶数情况只是少了$\ast x$这个多余的$1$而已，可自行证明一下。

区别

时间复杂度从$O(n)$变为$O(log$ $n)$。假设我们已经有了$a$和$n$，且我们要求$a^n$。
普通幂是这样实现的：

int ans=a;
int pow(int a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++){
		ans*=a;
	}
}

此方法运行了$n$次。
快速幂的写法是递归：

int pow(int a,int n){
	if(p==0)return;
	int t=pow(a,n/2);
	if(n%2==0){
		return t*t;
	}
	else{
		return t*t*a;
	}
}

示例代码-铺垫

实际上上面的代码就是正确的代码，但希望通过这篇博客，大家能认识一个新东西：三目运算符。
$C++$ 中惟一的三目运算符是这样写的：

(expression) ? (do something) : (do something else)

它相当于：

if(expression)
	do something;
else
	do something else;

那么为什么使用此运算符呢？因为它短小精悍。当然，如果$if$后面有多句话，就不提倡这么做了。

• 经典的用三目运算符的例子：

int compare_which_bigger(int a,int b){
	a>b ? return a : return b;
}

• 经典的反面例子：

int compare_which_biggest(int a,int b,int c,int d,int e){
	a>b||a>c||a>d||a>e ? return a : (b>c||b>d||b>e||b>a ? return b : (c>a||c>b||c>d||c>e ?return c : (d>a||d>b||d>c||d>e ? return d : return e)));
}

示例代码

int pow(int a,int n){
	if(p==0)return;
	int t=pow(a,n/2);
	n%2==0 ? return t*t : return t*t*a;
}