精确分析复杂的递推关系(n*logn*logn算法的稳定性)

精确分析复杂的递推关系(n*logn*logn算法的稳定性)

设置a(n)=2*a(n/2)+n*logn,按照以前的相同的处理方式有：

b(k)=2*b(k-1)+2^k*k

Go

通过解答这个方程可以获得b(k)=A*k^2*2^k+B*k*2^k+C*2^k

前面描述过A和B的关系是一定的，并且在解方程的过程中能看到A和B的值也是一定的:

有A=-B=1/4

联想起在k为1时的b(k)值有：b(1)=A*2+B*2+C*2可以知道：

a(1)=b(1)=2*C ,这与以前我们所讨论的初始状态时的混沌特性是不一样的，也就是说这种算法的时间复杂度可以稳定为n*logn*logn,下面我们任意指定C=100,a(1)=2*C,来比较结果和比率。

 

下面写程序来证明：

(defun pow (num count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* num 

         (pow num 

              (- count 1) ) )

      1))

 

(defun slayer ( count)

(if (or (> count 1) (eq  count  1) )

      (* count 

         (slayer  

              (- count 1) ) )

      1))

 

 

 

(defun  expr (n)

(if (eq  n 1)

       (*  2  

           C)    

         (+  (*  2

                 (expr (/  n  

                           2)))

             (*  n

                 (/  (log n)

                     (log 2))))))

 

(setq  A  1/4)

(setq  B  -1/4)

(setq  C  100)

 

(defun  formula (n)

(+  (*   A 

         (pow  n  2)

         (pow  2  n))

    (*   B

         n

         (pow  2  n))

    (*   C

         (pow  2  n))))

 

 

(defun  test (n)

(if (> n 0)

  (progn 

       (print (expr  (pow 2 (1- n))))

       (print  'compare)

       (print (formula n)) 

       (print (/ (formula n) 

                  (*   A 

                       (pow  n  2)

                       (pow  2.0  n)) ))

       (test (- n 1)))

  (print 'over)))

 

[12]> (test  30)

 

3.4091303E11

COMPARE

340913029120

1.4111111

1.6267189E11

COMPARE

162671886336

1.4411415

7.757785E10

COMPARE

77577846784

1.4744898

3.6976984E10

COMPARE

36976984064

1.5116599

1.7616077E10

COMPARE

17616076800

1.5532545

8.388608E9

COMPARE

8388608000

1.6

3.9929774E9

COMPARE

3992977408

1.6527778

1.9000197E9

COMPARE

1900019712

1.7126654

9.038725E8

COMPARE

903872512

1.7809918

4.2991616E8

COMPARE

429916160

1.8594104

2.0447232E8

COMPARE

204472320

1.95

9.7255424E7

COMPARE

97255424

2.0554016

4.6268416E7

COMPARE

46268416

2.1790123

2.2020096E7

COMPARE

22020096

2.3252594

1.048576E7

COMPARE

10485760

2.5

4997120.0

COMPARE

4997120

2.711111

2383872.0

COMPARE

2383872

2.9693878

1138688.0

COMPARE

1138688

3.2899408

544768.0

COMPARE

544768

3.6944444

261120.0

COMPARE

261120

4.214876

125440.0

COMPARE

125440

4.9

60416.0

COMPARE

60416

5.8271604

29184.0

COMPARE

29184

7.125

14144.0

COMPARE

14144

9.020409

6880.0

COMPARE

6880

11.944445

3360.0

COMPARE

3360

16.8

1648.0

COMPARE

1648

25.75

812.0

COMPARE

812

45.11111

402.0

COMPARE

402

100.5

200

COMPARE

200

400.0

OVER

OVER

从其中可以看出比率在快速地由400向1逼近，也就是说刚开始C的力量逐步被A*k^2的力量削弱，算法的稳定性很明显。