多重背包 O(W * sigma(logCi)) 算法

我们看看有没有办法变成更好的0-1背包问题。 思路1的意思是说我们把第i种物品看成单个的，一个一个的，我们想想二进制，任何一个数都可以由二的幂表示。

我们试试看，比如Ci = 14，我们可以把它化成如下4个物品：

重量是Wi，体积是Vi
重量是2 * Wi , 体积是2 * Vi
重量是4 * Wi , 体积是4 * Vi
重量是7 * Wi , 体积是7 * Vi

注意最后我们最后我们不能取，重量是8 * Wi , 体积是8 * Vi 因为那样总的个数是1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 15个了，我们不能多取对吧？

我们用这4个物品代替原来的14个物品，大家可以试试原来物品无论取多少个，重量和体积都可以靠我们这几个物品凑出来，这说明我们这种分配方式和原来是等价的。

我们转化为一般方法，对于Ci ,我们的拆分方法是：

1，2，4，8…… 同时Ci减去这些值，如果Ci不够减了，则把最后剩余的算上，同时我们体积也对应乘以这些系数。这样Ci个同一种物品，被我们变成了logCi个物品了。于是按照0-1背包的做法，时间复杂变为O(W * sigma(logCi))了，降了很多。

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输入

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

输出

输出可以容纳的最大价值。

代码

#include
int dp[50005],w[105],v[105],c[105];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    int n,W;
    scanf("%d%d",&n,&W);
    for(int i=0;i"%d%d%d",&w[i],&v[i],&c[i]);
    for(int j=0;jfor(int i=1,left=c[j];left>0;left=left-i,i=i*2)
            for(int k=W,t=(left>i?i:left);k>=t*w[j];k--)
                dp[k]=max(dp[k],dp[k-t*w[j]]+t*v[j]);
    printf("%d\n",dp[W]);
    return 0;
}