世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式

最近闲来无事，翻看起旧课本《信号与系统》，不经意间对一些基础问题有了新的理解角度。在上学的时候，我搞不清楚，这傅里叶变换是毛？明明一个时域波形，非要搞出个频率出来，虽然很好用，但是看不见摸不着的，实在让人头大。

1.欧拉公式

ejθ=cosθ+jsinθ

复平面上对角度取复指数，被定义为单位圆上角度为 θ 的向量，亦可理解为单位向量“1”沿逆时针从X+轴旋转 θ 度后的结果。

cos θ 是横坐标， sinθ 是纵坐标，通过因子 j 与实坐标组合起来，表示一个确切的位置。
当然，通过一些奇偶函数的特性可知：
e−jθ=cosθ−jsinθ
与上面的公式相加： e−jθ+ejθ=2cosθ
也可写成这个有意思的东东：

￥cosθ=ejθ+e−jθ2

2.复平面上的绘图仪

我们人类可以观测的东东，是在特定时刻的一组数值。以一维的信号而言，比如听声音，感觉到的是每个时刻鼓膜的震动强度——当然，是一个随着时间变化的实数。对最简单的一个单频率震动而言，耳朵听到的是一个正弦波：

s(t)=cos(2πft)
f=500Hz

 t = 0:0.00025:1-0.00025;
 f = 500;
 s = cos(2*pi*f*t);
 plot(t,s);

上图中，横轴为时刻，纵轴为该时刻的声音强度。由于这个强度是实数，因此，把它放在复平面上，所有时刻的值都在X轴上。现在，在X轴上放置一个水笔，并且用各个时刻的声音强度控制笔的位置，让一张纸向下滚动，我们看到了下图：

这个钢笔的X坐标与声强重合：
X(t)=s(t)=cos(2πft)

3. 钢笔拴在两个旋转的棍子上

好了!接着上面说，由于存在第一部分里的公式，我们可以写出：

￥cos(2πft)=ej2πft+e−j2πft2

这是什么？沿着实轴做余弦运动的质点，可以表示成复平面两个转动向量的加成。你看，ej2πft 是逆时针旋转的向量，e−j2πft 是顺时针旋转的向量，我们的钢笔拴在两个旋转的棍子上!

图中，只画了实轴和时间轴，这里因为图片摆放关系，时间轴和虚轴重合，但虚轴和时间没有关系，不要被误导！

4.下一篇说神马

在这一篇我们只观察了由两根棍子反着转（数学上叫共轭）形成的东东，下一篇，看看多个棍子的旋转会发生神马。