2019南京大学计算机系本科生开放日题目

2019/7/12，本地组

这是据应届新生回忆的题目，表述方法可能不太严谨，并没有给出数据范围，仅作参考。

另外，下面的时间复杂度均属于作者的思路，不代表AC解法。

1. 给一个字符串S，由()和[]组成。其中()和[]的值为1，AB的值为A+B，(A)的值为A*2，[A]的值为A+1，若括号不配对输出-1。求S所代表的值。

这是一个模拟多项式计算的小题目，重点考察括号匹配。由于(A)的存在，该题在括号匹配的同时需要将数值压栈。由于不知道字符串长度，可能存在2^31爆int的坑。

（后来由AC同学得知本题并没有爆int）

时间复杂度O(n)

2. 给一个数组A，其下标为1~n，其中第i个数A[i]代表下一步能够跳到的位置(比如A[1]=3，那么一步就可以从位置1跳到位置3)，每一次操作可以选择将A[i]+1，或者-1，或者跳一步，问从位置1走到位置n最少需要的操作数。

样例1

输入

5
3 4 2 5 3

输出

3

解释

将A[1]+1，+1，然后跳到5。

这题乍一看是3^n的剪枝回溯，但跳格子问题一般会有各种简化，经验告诉我们还有更好的解法。

本题的难点在于如何分析问题，将其化为已知问题。

首先，问题求最小步数，每个位置又对应固定的下一位置，所以同一位置不能被经过2次。那么改变A[i]并跳跃的过程，就等价于跳跃后在相邻位置间移动。因此，问题中的操作可以修改为，每一次操作可以选择跳一步；在位于位置1以外的位置时，可以选择向相邻位置移动一格。

至此，该问题已经可以用图表示，并可以应用bfs。

时间复杂度O(n)

3. 一个人有N元，M本书，每本书A[i]元，问不超过N元最多能买多少本书，且能买最多本书的组合有多少种。N, M<500

样例1

输入

5 4
2 3 3 4

输出

2 2

dp背包问题，对于A[i]，dp[n][m]+=dp[n-A[i]][m-1] ，n<=N, 记录最大m=maxm。输出dp[i][maxm]，i<=N的和。

时间复杂度O(NM^2)，感觉有点蠢，不知道有没有优化。

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2019/7/16，外地组

题目来源：https://blog.csdn.net/HanielF/article/details/95677016

偶然看到也有外地组的题目，就顺便写一下自己的感想。

今年外地组题目的门槛确实高了不少，比本地生难度还高一点。ww

1. 大概意思是，给你一个不超过100位的数n，和一个不超过100的数字k，要求从数n中去掉k个数字，然后使得去掉k个数之后，n最小。

题解参考链接：https://blog.csdn.net/C20190413/article/details/77368590

实际上可以一次遍历，时间复杂度O(n)

2. 大概意思是，有B个男孩，G个女孩，要求所有男孩女孩排成一队，连续的男孩个数不可以超过K个，问一共有多少种排法。

本题可以看作(G+1)个抽屉，每个抽屉最多放K个物品，一共有B个物品，问不同的放法。这样，本题很容易想到DP解法。

dp[g][b]+=dp[g-1][b-i], 0<=i

(原来是年年有DP啊)

应用双指针可降低遍历复杂度，时间复杂度O(BG)

3. 给出一个二叉树的前序遍历序列和后序遍历序列，序列是没有空节点#号的，只有字母，问通过这两个序列可以构造多少中不同的二叉树，因为树的样子不一样，遍历的序列是可能一样的。比如前序序列:abc，后序序列cba，就有4种不同的树

前序遍历序列和后序遍历序列可以确定一个树的连接关系，只是在二叉树中若某节点只有一个子节点，那么无法确定子节点的左右位置。因此目标可以转为统计只有一个子节点的节点个数a，输出2^a。

遍历方法较为简单，这里就不写了

最坏时间复杂度O(n^2)