数据结构与算法之动态规划和贪心
动态规划
####动态规划######
一、算法思想
贪心法的基本思路：
——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
该算法存在问题：
1. 不能保证求得的最后解是最佳的；
2. 不能用来求最大或最小解问题；
3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
实现该算法的过程：
从问题的某一初始解出发；
while 能朝给定总目标前进一步 do
求出可行解的一个解元素；
由所有解元素组合成问题的一个可行解；
二、例题分析
1、[背包问题]有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。
要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
分析：
目标函数： ∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)
（1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？
（2）每次挑选所占空间最小的物品装入是否能得到最优解？
（3）每次选取单位容量价值最大的物品，成为解本题的策略。
http://baike.baidu.com/view/298415.htm
实现这个算法是学习算法分析与设计这门课程的需要。
贪心算法是所接触到的第一类算法。算法从局部的最优出发，简单而快捷。对于一个问题的最
优解只能用穷举法得到时，用贪心法是寻找问题次优解的较好算法。
贪心法是一种改进了的分级处理方法。用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行，根据某个
优化测度（可能是目标函数，也可能不是目标函数），每一步上都要保证能获得局部最优解。每一
步只考虑一个数据，它的选取应满足局部优化条件。若下一个数据与部分最优解连在一起不再是可
行解时，就不把该数据添加到部分解中，直到把所有数据枚举完，或者不能再添加为止。这种能够
得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法称为贪心法。
选择能产生问题最优解的最优度量标准是使用贪心法的核心问题。
假定有n个物体和一个背包，物体i 有质量wi，价值为pi，而背包的载荷能力为M。若将物体i的
一部分xi（1<=i<=n,0<=xi<=1)装入背包中，则有价值pi*xi。在约束条件
（w1*x1+w2*x2+…………+wn*xn)<=M下使目标(p1*x1+p2*x2+……+pn*xn)达到极大，此处
0<=xi<=1,pi>0,1<=i<=n.这个问题称为背包问题（Knapsack problem）。
要想得到最优解，就要在效益增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。也就是说，总应该把那
些单位效益最高的物体先放入背包。
在实现算法的程序中，实现算法的核心程序倒没碰到很大的问题，然而实现寻找最优度量标准
程序时麻烦不断！
在寻找最优度量标准时，大致方向是用冒泡排序算法。也就是根据p[i]/w[i]的大小来对w[i]来
排序。
在直接用此算法时，可以有如下的一段代码：
//根据效益tempArray[i]对重量w[i]排序，为进入贪心算法作准备
1 void sort(float tempArray[], flaot w[], int n)
2 {
3 int i = 0, j = 0;
4 int index = 0;
5
6 //用类似冒泡排序算法，根据效益p[i]/w[i]对w[i]排序
7 for (i = 0; i < n; i++)
8 {
9 float swapMemory = 0;
10 float temp;
11
12 temp = tempArray[i];
13 index = i;
14
15 for (j = i + 1; j < n; j++)
16 {
17 if (temp < tempArray[j])
18 {
19 temp = tempArray[j];
20 index = j;
21 }
22 }
23
24 //对w[i]排序
25 swapMemory = w[index];
26 w[index] = w[i];
27 w[i] = swapMemory;
28 }
29
30 return;
31 }然而仔细对算法分析后可以发现，“拿来主义”在这里用不上了！
对算法的测试用例是p[3] = {25, 24, 15};w[3] = {18, 15, 10}。得到的结果如下：
please input the total count of object: 3
Please input array of p :
25 24 15
Now please input array of w :
18 15 10
sortResult[i] is :
1 -107374176.000000 1 1.600000 2 1.600000
after arithmetic data: x[i]
0.000000 0.333333 0.000000
可以看到其效益为x[3] = {1.4, 1.6, 1.5}，于是在M = 20的情况下，其预想中的输出结果是
0，1，0.5。然而事实上是不是就这样呢？
当程序进入此函数经过必要的变量初始化后，进入了外围循环，也就是程序的第7行。第一轮循
环中，temp = tempArray[0] = 1.4,index = i = 0;程序运行到第15行，也就是进入了内层循环。
内层循环的主要任务是从第i + 1个元素之后找到一个最大的效益并保存此时的下标。到了第24行后
，就开始对w[i]进行排序。
问题就在这里了！排序后的w[i] = {1.6, 1.6, 1.5}，因此对w[i]排序后就既改变了w[i]的原
有顺序，还改变了w[i]的原来值！
据此，做出一些修改，得到了如下的一段代码：
1 void sort(float tempArray[], int sortResult[], int n)
2 {
3 int i = 0, j = 0;
4 int index = 0, k = 0;
5
6 for (i = 0; i < n; i++)//对映射数组赋初值0
7 {
8 sortResult[i] = 0;
9 }
10
11 for (i = 0; i < n; i++)
12 {
13 float swapMemory = 0;
14 float temp;
15
16 temp = tempArray[i];
17 index = i;
18
19 for (j = i; j < n; j++)
20 {
21 if ((temp < tempArray[j]) && (sortResult[j] == 0))
22 {
23 temp = tempArray[j];
24 index = j;
25 }
26 }
27
28 if (sortResult[index] == 0)
29 {
30 sortResult[index] = ++k;
31 }
32 }
33
34 for (i = 0; i < n; i++)
35 {
36 if (sortResult[i] == 0)
37 {
38 sortResult[i] = ++k;
39 }
40 }
41
42 return;
43 }修改后最大的一个改变是没有继续沿用直接对w[i]排序，而是用w[i]的一个映射数组
sortResult[i]。sortResult[i]中元素值存放的是根据效益计算得w[i]的大小顺序！这样w[i]原有
的值和位置都没有改变，从而使算法得以实现！
至于有没有更好的实现版本，还在探索中！
、#include
、#define MAXSIZE 100 //假设物体总数
、#define M 20 //背包的载荷能力
//算法核心，贪心算法
void GREEDY(float w[], float x[], int sortResult[], int n)
{
float cu = M;
int i = 0;
int temp = 0;
for (i = 0; i < n; i++)//准备输出结果
{
x[i] = 0;
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
temp = sortResult[i];//得到取物体的顺序
if (w[temp] > cu)
{
break;
}
x[temp] = 1;//若合适则取出
cu -= w[temp];//将容量相应的改变
}
if (i <= n)//使背包充满
{
x[temp] = cu / w[temp];
}
return;
}
void sort(float tempArray[], int sortResult[], int n)
{
int i = 0, j = 0;
int index = 0, k = 0;
for (i = 0; i < n; i++)//对映射数组赋初值0
{
sortResult[i] = 0;
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
float temp = tempArray[i];
index = i;
//找到最大的效益并保存此时的下标
for (j = 0; j < n; j++)
{
if ((temp < tempArray[j]) && (sortResult[j] == 0))
{
temp = tempArray[j];
index = j;
}
}
//对w[i]作标记排序
if (sortResult[index] == 0)
{
sortResult[index] = ++k;
}
}
//修改效益最低的sortResult[i]标记
for (i = 0; i < n; i++)
{
if (sortResult[i] == 0)
{
sortResult[i] = ++k;
}
}
return;
}
//得到本算法的所有输入信息
void getData(float p[], float w[], int *n)
{
int i = 0;
printf("please input the total count of object: ");
scanf("%d", n);
printf("Please input array of p :\n");
for (i = 0; i < (*n); i++)
{
scanf("%f", &p[i]);
}
printf("Now please input array of w :\n");
for (i = 0; i < (*n); i++)
{
scanf("%f", &w[i]);
}
return;
}
void output(float x[], int n)
{
int i;
printf("\n\nafter arithmetic data: advise method\n");
for (i = 0; i < n; i++)
{
printf("x[%d]\t", i);
}
printf("\n");
for (i = 0; i < n; i++)
{
printf("%2.3f\t", x[i]);
}
return;
}
void main()
{
float p[MAXSIZE], w[MAXSIZE], x[MAXSIZE];
int i = 0, n = 0;
int sortResult[MAXSIZE];
getData(p, w, &n);
for (i = 0; i < n; i++)
{
x[i] = p[i] / w[i];
}
sort(x, sortResult, n);
GREEDY(w, x, sortResult, n);
output(x, n);
getch();
}注释：：
代码运行过程中如果用的VC出现getchar()undefined，请添加#include头文件，如果添加后出现one or more multiply defined symbols found，关闭vc重新建立一个新文件即可