7.跳表Skip List

什么是跳表？

二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性。如果是一个链表,如何支持二分查找呢，就是给这个链表建立多层的索引，如下图所示，这种数据结构叫做跳表。
在跳表中，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，对于大小为n的链表来讲，第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2^K)。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2^K)=2，从而
求得 h=log₂ⁿ-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log₂ⁿ。

我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。每层遍历最多3个节点，因为第一层为2个，假设为x，y。判处出在x和y之间，下滑到下一层，对应的是3个节点，最多分别比对一次后获的到应该下滑的下一层位置。
跳表更加的占用空间，是利用空间换时间的思路。为了减少空间的存储，我们也可以调整为3个节点抽取一个索引。

优秀的动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，跳表的插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。

插入算法分析

在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。

删除算法分析

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

  当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。所以需要在插入数据的时候，选择同时将这个数据插入到部分索引层中。我们常通过通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。
  随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。Redis 中关于有序集合就是用跳表实现的。