【拟合专题】直线拟合

闲来无事，整理下拟合方面的一些方法（部分内容参考gloomyfish、Grooveboy等博客，在此先行谢过）

直线拟合方法主流方法有最小二乘、Hough两种，其他如Halcon上的最小距离也是最小二乘的思想，其他如Hough变换和最小二乘结合、混沌粒子群结合等等

1、最小二乘拟合直线

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系为：

                   y＝a+bx

式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（x_i，y_i），i＝1，2……，N，x_i值被认为是准确的，所有的误差只联系着y_i。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。     

用最小二乘法估计参数时，要求观测值y_i的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：

上式分别对a、b求偏导得：
    

整理后得到方程组

    解上述方程组便可求得直线参数a和b的最佳估计值。

相关系数r:

最小二乘法处理数据除给出a、b外，常常还给出相关系数r,  r定义为

 

2、Hough变换拟合直线

霍夫变换是图像变换中的经典手段之一，主要用来从图像中分离出具有某种相同特征的几何

形状（如，直线，圆等）。霍夫变换寻找直线与圆的方法相比与其它方法可以更好的减少噪

声干扰。经典的霍夫变换常用来检测直线，圆，椭圆等。

 

霍夫变换算法思想：

以直线检测为例，每个像素坐标点经过变换都变成都直线特质有贡献的统一度量，一个简单

的例子如下：一条直线在图像中是一系列离散点的集合，通过一个直线的离散极坐标公式，

可以表达出直线的离散点几何等式如下：

X *cos(theta) + y * sin(theta)  = r 其中角度theta指r与X轴之间的夹角，r为到直线几何垂

直距离。任何在直线上点，x, y都可以表达，其中 r， theta是常量。该公式图形表示如下：

然而在实现的图像处理领域，图像的像素坐标P(x, y)是已知的，而r, theta则是我们要寻找

的变量。如果我们能绘制每个(r, theta)值根据像素点坐标P(x, y)值的话，那么就从图像笛卡

尔坐标系统转换到极坐标霍夫空间系统，这种从点到曲线的变换称为直线的霍夫变换。变换

通过量化霍夫参数空间为有限个值间隔等分或者累加格子。当霍夫变换算法开始，每个像素

坐标点P(x, y)被转换到(r, theta)的曲线点上面，累加到对应的格子数据点，当一个波峰出现

时候，说明有直线存在。同样的原理，我们可以用来检测圆，只是对于圆的参数方程变为如

下等式：

(x –a ) ^2 + (y-b) ^ 2 = r^2其中(a, b)为圆的中心点坐标，r圆的半径。这样霍夫的参数空间就

变成一个三维参数空间。给定圆半径转为二维霍夫参数空间，变换相对简单，也比较常用。

 

编程思路解析：

1.      读取一幅带处理二值图像，最好背景为黑色。

2.      取得源像素数据

3.      根据直线的霍夫变换公式完成霍夫变换，预览霍夫空间结果

4.       寻找最大霍夫值，设置阈值，反变换到图像RGB值空间(程序难点之一)

5.      越界处理，显示霍夫变换处理以后的图像

 

关键代码解析：

直线的变换角度为[0 ~ PI]之间，设置等份为180份，为提高实时性，只对ROI点做Hough变换，matlab中hough变换原理应是对没一点做hough，对于二值图像尽管此点为0，也会默认最hough变换，严重影响速度。

{CSDN:CODE:76986}

霍夫变换源图如下：

霍夫变换以后，在霍夫空间显示如下：（白色表示已经找到直线信号）

最终反变换回到像素空间效果如下：

一个更好的运行监测直线的结果(输入为二值图像)：