c++背包九讲之多重背包

一、背包九讲总述

关于动态规划问题，最典型的就是背包九讲，先理解背包九讲后再总结关于动态规划的问题。

1、01背包问题
2、完全背包问题
3、多重背包问题
4、混合背包问题
5、二维费用的背包问题
6、分组背包问题
7、背包问题求方案数
8、求背包问题的方案
9、有依赖的背包问题
上两篇讲述了c++背包九讲之01背包和c++背包九讲之完全背包

二、多重背包问题
多重背包问题: 有n件物品和一个容量为C的背包， 每种物品有k[i]件，第i件物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这个就不用多叙述了，相信看了上两篇文章的小伙伴非常容易理解这个问题。区别无非就是数量的限制。下面从几个角度来实现一下：
示例：参考这个图多重背包问题
其中，V表示价值，W表示重量，K表示数量

方法一：添加附加数量限制条件

#include
#include

using namespace std;

//全局变量定义在堆区，自动初始化
int V[100][100];
int x[100];
int k[100];

int packet(int n, int C, int v[], int w[],int k[])
{
	int i = 0, j = 0,l = 0;
	//此循环为核心，重点！！
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		for (j = 1; j <= C; j++)
		{
			//注意约束条件，不能无限的加
			for (l = 1; l <= k[i] && l*w[i] <= j; l++)
			{
				if (j < w[i])
				{
					V[i][j] = V[i - 1][j];
				}
				else
					V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - l*w[i]] + l*v[i]);
			}
		}
	}
	cout << V[n][C] << endl;
	return 0;
}

int main()
{
	int n;		//输入的物品个数
	int C;		//最大的容量

	int v[100] = { 0 };		//第i个物品的价值
	int w[100] = { 0 };		//第i个物品的重量
	int k[100] = { 0 };
	cout << "输入物品个数" << endl;
	cin >> n;
	cout << "输入背包容量" << endl;
	cin >> C;
	cout << "输入各个物品的价值" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> v[i];
	}
	cout << "输入各个物品的重量" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i];
	}
	cout << "输入各个物品的数量" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> k[i];
	}
	packet(n, C, v, w, k);
	while (1);
}

方法二：转化为01问题（二维数组）

#include
#include

using namespace std;

//全局变量定义在堆区，自动初始化
int V[100][100];
int x[100];
int k[100];

int packet(int n, int C, int v[], int w[], int k[])
{
	int i = 0, j = 0;
	int l = n;
	//扩大物体数量
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		if (k[i] != 1)
		{
			w[l+1] = w[i];
			v[l+1] = v[i];
			l++;
			k[i]--;
		}
	}
	//此循环为核心，重点！！
	for (i = 0; i <= l; i++)
	{
		for (j = 1; j <= C; j++)
		{
			if (j < w[i])
			{
				V[i][j] = V[i - 1][j];
			}
			else
				V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
	cout << V[l][C] << endl;

	cout << endl;
	return 0;
}

int main()
{
	int n;		//输入的物品个数
	int C;		//最大的容量

	int v[100] = { 0 };		//第i个物品的价值
	int w[100] = { 0 };		//第i个物品的重量
	int k[100] = { 0 };
	cout << "输入物品个数" << endl;
	cin >> n;
	cout << "输入背包容量" << endl;
	cin >> C;
	cout << "输入各个物品的价值" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> v[i];
	}
	cout << "输入各个物品的重量" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i];
	}
	packet(n, C, v, w, k);
	while (1);
}

方法三：转化为01问题（滚动一维数组）

#include
#include

using namespace std;

//全局变量定义在堆区，自动初始化

int x[100];
int k[100];
int V[100];

int packet(int n, int C, int v[], int w[], int k[])
{
	int i = 0, j = 0;
	int l = n;
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		if (k[i] != 1)
		{
			w[l+1] = w[i];
			v[l+1] = v[i];
			l++;
			k[i]--;
		}
	}
	//此循环为核心，重点！！
	for (i = 0; i <= l; i++)
	{
		//滚动数组优化空间，逆序
		for (j = C; j > 0; j--)
		{
			if (j < w[i])
			{
				V[j] = V[j];
			}
			else
				V[j] = max(V[j], V[j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	cout << V[C] << endl;

	cout << endl;
	return 0;
}

int main()
{
	int n;		//输入的物品个数
	int C;		//最大的容量

	int v[100] = { 0 };		//第i个物品的价值
	int w[100] = { 0 };		//第i个物品的重量
	int k[100] = { 0 };
	cout << "输入物品个数" << endl;
	cin >> n;
	cout << "输入背包容量" << endl;
	cin >> C;
	cout << "输入各个物品的价值" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> v[i];
	}
	cout << "输入各个物品的重量" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> w[i];
	}
	cout << "输入各个物品的数量" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> k[i];
	}
	packet(n, C, v, w, k);
	while (1);

}