简述大数分解算法Pollard Rho和Pollard p-1

大数分解问题其实至今都是一个世界级难题，最常见的分解法是从2一直找到sqr(N)，作为一个密码学专业的学生，每次看到别人这么做来进行因子分解，自己都控制不住想要制止他，因为这个算法的效率简直太太太太太低了。

于是，简单介绍一下牛逼哄哄的Pollard算法，专制各种大数。

先说rho算法。

rho算法其实是一种概率上的算法，虽然是靠概率，但是其准确率非常高（99.9%），更重要的是，该算法效率极高。其主要基于密码学当中的一个“生日悖论“来进行算法的设计。简单来讲就是，我们将N的两个因子x和y（就假设它有两个）从一大堆数里挑出来的概率非常小，但是如果我们挑满足x-y等于某个数的话，概率就要大很多。更进一步，如果我们找gcd(|x-y| ,N)呢？那么概率就会更大，就是这么个道理。

关于Rho算法，要注意有可能会进入死循环，也就是说我们要在算法中对其进行判圈，具体的做法是，每次a=f(a)，再找一个b=f(f(b))，如果有一个时刻a=b那么就退出循环，因为b是以两倍的速度走得，当b追上了a，那么b至少已经走完一圈了。

再说p-1算法。

这种方法是在p-1的素数分解式中不含有大于预定B值的素因数的情况下，找到一个基本的素数p，求出一个数的素因数。方法有点特殊，它只能应用在求整数n的一个素因子p，且p-1能被“小”因子整除的情况下，除此之外该方法无法正常应用。但是这个方法运用起来相当简单，所以在防止因式分解攻击时，必须考虑这一方法

参考资源：
Pollard-rho算法详解.pdf

大数质因解：浅谈Miller-Rabin和Pollard-Rho算法