数据结构之图(七)——最小生成树

生成树

• 生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的图。
  
  一个图可以有许多棵不同的生成树。
  含n个顶点n-1条边的图不一定是生成树。

• 特点：

  • 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同。
  • 生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通。
  • 一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边。
  • 在生成树中加一条边必然形成回路。
  • 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的。

• 构造无向图生成树：

  • 通过DFS构造生成树——深度优先生成树
    
    加入边的顺序：$(V1,V2),(V2,V4),(V4,V8),(V8,V5),(V1,V3),(V3,V6),(V6,V7)$。
  • 通过BFS构造生成树——广度优先生成树
    
    加入边的顺序：$(V1,V2),(V1,V3),(V2,V4),(V2,V5),(V3,V6),(V3,V7),(V4,V8)$。

• 设图G=(V,E)是个连通图，当从图的任一顶点出发遍历图G时，将边集E(G)分成两个集合T(G)和B(G)。其中T(G)是遍历图时所经过的边的集合，B(G)是遍历图时未经过的边的集合。显然，G1(V,T)是图的极小连通子图。即子图G1是连通图G的生成树。

最小生成树

• 含义： 给定一个无向网，在该网的所有生成树中，使得个边权值之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。
• MST(Minimum Spanning Tree)性质：设N=(V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若边(u,v)是一条具有最小权值的边，其中$u\in U,v\in V-U$，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
• MST性质解释：
  在生成树的构造过程中，图中n个顶点分属两个集合：
  • 已落在生成树上的顶点集：U
  • 尚未落在生成树上的顶点集：V-U
    接下来应在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

构造最小生成树——Prim算法

• 算法思想:
  • 设N=(V,E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
  • 初始时，从某个顶点开始，即令$U=\{u_0\}(u_0\in V),TE=$。
  • 在所有$u\in U,v\in V-U$的边$(u,v)\in E$中，找一条代价最小的边$(u_0,v_0)$。
  • 将$(u_0,v_0)$并入集合TE，同时$v_0$并入U。
  • 重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,TE)为N的最小生成树。

构造最小生成树——Kruskal算法

• 算法思想:
  • 设连通网N=(V,E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量。
  • 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同放入连通分量上(即，不能形成环)，则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。
  • 依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

两种算法的比较

算法名	Prim算法	Kruskal算法
算法思想	选择点	选择边
时间复杂度	$O(n^2)$(n为顶点数)	$O(eloge)$(e为边数)
适应范围	稠密图	稀疏图