浅谈威尔逊定理

威尔逊定理定义

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大，但借助计算机的运算能力有广泛的应用，也可以辅助数学推导。

证明威尔逊定理

充分性
如果“p”不是素数，当p=4时，显然（p-1)!≡6≡2(mod p), 当p>4时，若p不是完全平方数，则存在两个不等的因数a，b使得ab=p，则(p-1)!≡nab≡0(mod p);若p是完全平方数即p=k^{2，因为p>4,所以k>2，k,2k2≡0(mod p)。
必要性
若p是素数,取集合 A={1,2,3,…p -1}; 则A 构成模p乘法的缩系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:
( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况
x^2 ≡ 1 ( mod p )
解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )
其余两两配对;故而
( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )}

代码证明

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class WilsonTheorem {
public static void main(String[] args) {
System.out.println("请输入一个质数：");
Scanner in = new Scanner(System.in);
int p;
while (true) {
try {
p = in.nextInt();
if (!judge(p))
throw new Exception();
BigInteger factorial = new BigInteger("1");
for(int i = 2; i < p; i++) {
factorial = factorial.multiply(new BigInteger(i + ""));
}
factorial = factorial.add(new BigInteger("1"));
System.out.println("(p-1)! + 1 = " + factorial);
BigInteger result = factorial.divide(new BigInteger(p + ""));
System.out.println("(p-1)! + 1除以p = " + result);
} catch (Exception e) {
System.out.println("输入错误，请重新输入！");
continue;
}
}
}
/**
* 判断一个是否是质数的方法
*
* @param num
* @return
*/
public static boolean judge(int num) {
int i;
for (i = 2; i <= num / 2; i++) {
if (num % i == 0)
break;
}
return i > num / 2 ? true : false;
}
}