【转载】五边形数定理、分拆数

原文博客：http://blog.csdn.net/zhoufenqin/article/details/9821617

分拆数

在将分拆数之前先介绍一点五边形数

http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_number 

1. 五边形数是能排成五边形的多边形数。 

第n个五边形数公式：p(n)=(3*n^2-n)/2

前几个五边形数：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 .........

2. 广义五边形数：

n的取值0,1,-1,2,-2,3,-3.......

前几个广义五边形数：0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330......

3. 中心五边形数：

4.中心六边形数

中心六边形数跟广义五边形数有较大的关系，见图

(相邻两个广义五边形数之和)

5. 五边形数测试

利用以下的公式可以测试一个正整数x是否是五边形数（此处不考虑广义五边形数）：

若n是自然数，则x是五边形数，而且恰为第n个五边形数。

若n不是自然数，则x不是五边形数。

进入正题：分拆数

将一个数用一个或多个正整数的无序和来表示

例如4的分拆有5种：4 , 3+1 , 2+2 , 2+1+1 , 1+1+1+1

1. 限制分拆

给一些分拆加限制条件。例如8的分拆有22种，

其中分拆的数中全部都是奇数的有6种：7+1, 5+3, 5+1+1+1, 3+3+1+1, 3+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1;

同样，若要求8分拆的数中是两两不同的也有6种：8, 7+1, 6+2, 5+3, 5+2+1, 4+3+1

已证明一个数的分拆中满足以上两种条件的个数是相同的，详见http://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher%27s_theorem 

一些有关限制分拆的结论：

·n的分拆数中最大部分为m的个数=把n分拆成m部分的个数

如图，左边最大部分m=3，等于把n拆成3部分(右图)   把图转置即可

·n的分拆数中每一部分都小于等于m的个数=把n分成m份或更小

·n的分拆数中每部分的数都相等的个数=n 的因子个数

Eg. 6=2+2+2, 6=3+3,6=1+1+1+1+1+1

·n的分拆数中每部分都是1或2(或者把n分拆成1或2部分)的个数=floor(n/2+1);

 Eg. 6=1+1+1+1+1+1, 6=1+1+1+1+2, 6=1+1+2+2, 6=2+2+2

·n的分拆数中每部分都是1或2或3(或者把n分拆成1或2或3部分)的个数=(n+3)^2/12;

2. 生成函数

     

因为 ，右边的表达式等于乘积(母函数)

Pn 等于方程n=a1+2*a2+3*a3+...+n*an 的非负整数解a1,a2...an 的个数。

若是用母函数的方法去做，n很大不容易解出来，继续往下看

定义P(k,n)为：将n表示成>=k 的数之和。Eg P(3,6): 6=3+3 

1) 当最小的数为k时，p(k,n) = p(k,n-k)。即在n-k表示成>=k的数之和的情况下再加入一个k，情况还是不变

2) 当最小的数>k时，则至少最小的数为k+1，p(k,n)=p(k+1,n);

所以p(k,n)=p(k,n-k)+p(k+1,n)。k>n 时，p(k,n)=0,p(n,n)=1;

  eg： p(9)=p(1,8)+p(2,7)+p(3,6)+p(4,5);

得到下表：

K n	1	2	3	4	5	6	7	...
1	1
2	2	1
3	3	1	1
4	5	2	1	1
5	7	2	1	1	1
6	11	4	2	1	1	1
7	15	4	2	1	1	1	1
...

前几个分拆数1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42 ,56,77,101,135......

如果是按p(k,n)=p(k+1,n)+p(k,n-k) 来算，复杂度仍是0(n^2),往下看

 

右边的分母是欧拉函数，可写成

 可以发现等式右边x的指数为扩展五边形数,可根据之前介绍的扩展五边形公式算得p(n)=(3*n^2-n)/2，系数符号为(-1)^(m+1)

于是 p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k − 15)  − p(k − 22) − ... 

Eg p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)。复杂度降低了

/*

总结：

五边形数：0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35....

对应下标：0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 , 5.....

所以 可以在O(N^1.5)的时间内求出p(1),p(2),...p(n)。

*/

Hdu 4658 要求拆分的数中每个数出现的次数不能大于等于k次，则

已经求得，现在看Q(x^k)会怎么样

例如，当n=8，k=4时

满足指数为8的乘积之和为：

所以将8拆分的数中每个数的个数小于4的有16个，分别为

8,1+7,1+1+6,1+1+1+5,6+2,1+5+2,1+1+4+2,1+1+1+3+2,4+2+2,1+3+2+2,1+1+2+2+2,1+1+3+3,1+4+3,5+3,2+3+3,4+4

hdu 4651

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4651 

代码有点捉急。。

 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include

 using namespace std;

 typedef __int64 LL;
 const int maxn=100010;
 const LL MOD=1000000007;
 LL dp[maxn];
 LL Five(LL x)
 {
     LL ans=3*x*x-x;
     return ans/2;
 }
 void _init()
 {
     dp[0]=1;
     for(int i=1;i
     {
         for(int j=1;;j++)
         {
             LL k=Five(j);//获取五边形数
             if(k<=i)
             {
                 if(j%2==0)//判断奇偶从而判断系数为正还是为负
                     dp[i]=(dp[i]-dp[i-k]);
                 else
                     dp[i]=(dp[i]+dp[i-k]);
                 if(dp[i]>=MOD) dp[i]%=MOD;
                 if(dp[i]<0) dp[i]+=MOD;
                 k=Five(-1*j);
                 if(k<=i)
                 {
                     if(j%2==0)
                         dp[i]=(dp[i]-dp[i-k]);
                     else
                         dp[i]=(dp[i]+dp[i-k]);
                     if(dp[i]>=MOD) dp[i]%=MOD;
                      if(dp[i]<0) dp[i]+=MOD;
                 }
                 else
                     break;
             }
             else
                 break;
         }
     }
 }
 int main()
 {
     _init();
     int T,n;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         printf("%I64d\n",dp[n]);
     }
     return 0;
 }

hdu 4658

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4658 

 #include
 #include
 #include
 #include
 #include
 #include

 using namespace std;

 typedef __int64 LL;
 const int Maxn=100010;
 const LL MOD=1000000007;
 LL Q[Maxn],P[Maxn];
 LL GetQ(LL x)
 {
     LL ans=(LL)x*x*3-x;
     return (ans/2)%MOD;
 }
 void _init()
 {
     Q[0]=0;
     for(int i=1;i
     {
         if(i&1) Q[i]=GetQ(i/2+1);
         else Q[i]=GetQ(i/2*(-1));
     }
     P[0]=P[1]=1;
     for(int i=2;i
     {
         for(int j=1;;j++)
         {
             if(Q[j]>i) break;
             int t=j;
             if(t&1) t=t/2+1;
             else t=t/2;
             if(t&1)
                 P[i]=(P[i]+P[i-Q[j]]);
             else
                 P[i]=(P[i]-P[i-Q[j]]);
             if(P[i]>=MOD) P[i]%=MOD;
             if(P[i]<0) P[i]+=MOD;
         }
     }
 }
 void solved(LL n,LL k)
 {
     LL ans=0;
     for(int i=0;;i++)
     {
         if(Q[i]*k>n) break;
         int t=i;
         if(t&1) t=t/2+1;
         else t=t/2;
         if(t&1) ans=(ans-P[n-Q[i]*k]);
         else ans=(ans+P[n-Q[i]*k]);
         if(ans>=MOD) ans%=MOD;
         if(ans<0) ans+=MOD;
     }
     printf("%I64d\n",ans);
 }
 int main()
 {
     _init();
     int T;
     LL n,k;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%I64d%I64d",&n,&k);
         solved(n,k);
     }
     return 0;
 }