浅谈矩阵空间
在谈矩阵空间之前，我们先来看看常见的一个线性方程组的问题：
A x = b \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
其中， A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m \times n} A∈Rm×n, x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbf{R}^{n} x∈Rn, b ∈ R m \mathbf{b} \in \mathbf{R}^{m} b∈Rm, 很多时候，我们都是希望解决这样一个线性方程组的问题。
我们可以把矩阵 $ \mathbf{A}$ 拆成一系列列向量的组合， A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } \mathbf{A} = \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n \} A={a1,a2,...,an}, 同样 x = { x 1 , x 2 , . . . , x n } \mathbf{x} = \{ x_1, x_2, ..., x_n \} x={x1,x2,...,xn}，那么上式可以表示成：
A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n \mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n Ax=x1a1+x2a2+...+xnan
所以说，矩阵和列向量的相乘，就相当于矩阵的列向量的一个线性组合。所以，这就引出了我们关于矩阵空间的第一个形式：
- 矩阵的列空间： 矩阵的列空间，就是矩阵的列向量的所有的线性组合的集合，这个空间也是 R m \mathbf{R}^{m} Rm 里的一个子空间。
可以想象，矩阵的列向量的线性组合，构成了一个关于向量加法和数乘的封闭集合。如果我们希望 A x = b \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b 有解，其实也就是说向量 b \mathbf{b} b 应该存在于该子空间内。
介绍了矩阵的列空间之后，我们再来看看一种特殊的空间，矩阵的零空间，先来看看下面的表达式：
A x = 0 \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
与上面的表达式不同的是，这次右边是一个 0 \mathbf{0} 0 向量，根据这个定义，我们可以给出矩阵的零空间
- 矩阵的零空间： 就是使得 A x = 0 \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0 的所有解向量 x \mathbf{x} x 所构成的一个集合，这个零空间同时也是 R n \mathbf{R}^{n} Rn 里的一个子空间。
关于， A x = 0 \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0，我们可以继续探讨一下，从上面的表达式可以知道：
A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 \mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0} Ax=x1a1+x2a2+...+xnan=0
如果说，上面的线性方程组有且只存在唯一的一个解： x = 0 \mathbf{x} = \mathbf{0} x=0，这意味着什么呢，这就说明 A \mathbf{A} A 中的任何一个列向量都无法等价于其他列向量的线性组合，这就是我们所说的线性无关。如果矩阵的任何一个列向量都无法被其他的列向量线性表示，那么我们可以说这组列向量是线性无关的。对于三维空间来说，如果三个向量是线性无关的，那么可以肯定这三个向量肯定是不共面的。
从线性无关出发，我们可以继续探讨 span 的概念，我们都已经说过，向量空间就是一个集合，如果把向量看成是空间中的一个个的 “点”，那么空间就相当于这一个个点的集合。比如我们说的三维空间，三维空间中的向量有无数个，但是我们可以找到几个独特的向量，从这几个向量出发，三维空间中的所有其他向量都可以由这几个向量的线性组合表示。那么我们就说这几个向量 span 了整个向量空间。同样的：
- 矩阵的列向量 span 了矩阵的整个列空间
从 span 和线性无关，我们可以引入基向量的概念，一个空间的基向量，必须满足两个条件：一个是线性无关，另外一个是必须可以 span 整个空间，所以说一组基向量，就是一组线性无关，并且可以 span 起整个空间的一组向量。
- 一个空间里的基向量不是唯一的。