密码学：模运算及其规则

1.基本概念：

数学上的定义：给定一个正整数p  ，任意一个整数 n（正数,负数,0都行） ，一定存在等式n = p*k+r （0≤r

记:r = n mod p （p为正整数，n为任意整数，且0<= r < n)

例子：-11 mod 7 = 3；

-11 = 7 * k + r  ——>  r = -11 - 7 * k (取k = -2)

r = -11 - （7 * -2） = -11 + 14 = 3

同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b (mod p)。

即满足：a mod p = b mod p

模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的模，也就是说，(a+b) = kp +r。 　　

模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的模。 　　

模p乘法：(a * b) mod p，其结果是 a * b算术乘法除以p的模。

2.部分重要性质：

1.若p | (a - b)，则a≡b (mod p)  备注：（|是整除性符号，也就是（a - b）是p的因子）

证明：

证明a = b (mod p),也就是证明a mod p = b mod p

令a - b = kp  ——>  a = kp + b 

取k1使0 <= a - k1 * p < p  ——>  a - k1 * p  = b + k * p - k1 * p  ——>  a - k1 * p = b - (k1 - k) * p

即a mod p = b mod p

2.结合率（(x+y )mod p +c）mod p =（x+ (y +c mod) p）mod p ;

证明：存在x= k1p +r1,y = k2p+r2;c=k3p+r3；则代入等式左边，等于r1+r2+r3,等式右边也等于r1+r2+r3 。

3.非常重要的运算：加法逆元和乘法逆元

  定义：加法逆元 （x+y）mod p =0

   乘法逆元（x*y）mod p =1

4.(a mod p) = (b mod p),则a = b (mod p)

5.对称性：a = b (mod p)等价b = a (mod p)

6.传递性：若a = b (mod p)且b = c (mod p), 则a = c (mod p)

3.运算规则：

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p （1） 　

证明：

（a + b） mod p  ——>  r = (a + b) - p * k (存在k, 0 <= r < p)  ——>  0 <= r = a + b - p * k

——>  取k1,k2使得0 <= a - p * k1 < p,0 <= b - p * k2 < p ——>  0 <= r = a - p * k1 + b - p * k2 - (k - k1 - k2) * p < p

——>  0 <= r = a mod p + b mod p - (k - k1 - k2) * p < p  ——>  0 <= r = (a mod p + b mod p) mod p < p

即得结果:(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p

(a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p   （2） 　　

(a * b) mod p = (a mod p * b mod p) mod p   （3） 　　

a^b mod p = ((a mod p)^b) mod p （4） 　　

结合率：

 ((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p （5） 　　

((a*b) mod p * c) mod p = (a * (b*c) mod p) mod p （6） 　

　

交换率： (a + b) mod p = (b+a) mod p （7） 　　

(a * b) mod p = (b * a) mod p （8） 　　

分配率： ((a +b) mod p * c) mod p = ((a * c) mod p + (b * c) mod p) mod p （9）

4.重要定理：

若a≡b (mod p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (mod p)；（10） 　　

若a≡b (mod p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (mod p)；（11） 　　

若a≡b (mod p)，c≡d (mod p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (mod p)，(a - c) ≡ (b - d) (mod p)， 　　(a * c) ≡ (b * d) (mod p)，(a / c) ≡ (b / d) (mod p)； （12） 　　

若a≡b (mod p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc (mod p)； （13）