栈和卡特兰数（Catalan number）

1.栈与卡特兰数的关系

栈是计算机中经典的数据结构，我们也会遇到一个常见的问题：一共有多少种合法的出栈顺序？

先说一下什么是合法的出栈序列， 凡是合法序列都遵循以下规律：即对于出栈序列中的每一个数字，在它后面的、比它小的所有数字，一定是按递减顺序排列的。
例如：有数字1 2 3 4 依次入栈，那么他们的出栈顺序中：

• 4321合法：4后面比它小的数是321，并且321递减；3后面比它小的是21，并且21递减。
• 3421合法：3后面比它小的是21，并且21递减；4后面比它小的是21，并且21递减。
• 1423不合法：4后面比它小的是23，23不是递减。

所以到底有多少种合法序列呢？
答案就是：合法出栈数目==卡特兰数

---

2.卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。（卡特兰数百度百科）
公式①：
$f（0）=1，f（1）=1$
$f（n）=\frac{C_n^{2n}}{n+1}=c_n^{2n}-c_{n-1}^{2n}（n=0，1，2，\dots \dots ）$
公式②：
$h（0）=1，h（1）=1$
$h(n)=h(0)\ast h(n-1)+h(1)\ast h(n-2)+...+h(n-1)\ast h(0)(n>=2)$

注意！！！
程序运算时使用第二种方法（第一种在n>15时就溢出了）

//方法一，m>15就溢出了
#include
using namespace std;
int main()
{
	int m;
	cin>>m;
	long long int result=1;
	for(int i=m+1;i<=m*2;i++)
	{
		result*=i;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		result/=i;
	}
	cout<<result/(m+1)<<endl;
	return 0;
}

//方法二
#include 
using namespace std;
int main()
{
    int n,f[20]={0};
    cin>>n;
    f[0]=1;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<i;j++)
          f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
          cout<<f[n];
    return 0;
}

---

3.扩展

知道数量也要知道数量是怎么出来的——动态规划

---

4.相关题目

题目描述：
栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。
宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。
现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）
   使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如上图所示)

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入： 输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）
输出： 输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目
样例输入：

3

样例输出：

5

答案：

#include 
using namespace std;
int main()
{
    int n,f[20]={0};
    cin>>n;
    f[0]=1;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<i;j++)
          f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
          cout<<f[n];
    return 0;
}