Codeforces 51E Pentagon

题意

https://codeforces.com/problemset/problem/51/E

在无向图中统计有多少个五元环，顶点数$\le 700$

算法：枚举

枚举五元环的两个顶点，找到两条各自包含2条和3条的不重复边的环。

$u\to v$的长度是2的路径条数如何计数呢？可以类似Folyd的传递闭包方法，枚举一个中间点$x$即可，根据乘法原理，${\sum }_u^x={\sum }_u^x\times {\sum }_x^v$，因此可以用二维矩阵保存$u,v$的路径条数。若$A$是原先的邻接矩阵，那么$B=A\times A$就是长度是2的路径条数矩阵，而$C=B\times A$就是长度是3的路径条数计数矩阵。

再根据乘法原理，包含路径长度分别是2和3的不重复边的环个数是$B\times C$，然而，其中有很多是重复的和无效的：

• 重复：对于一个包含5条边的环而言，上面的乘法会重复计算10次：一个点有两条边，顺时针逆时针构造是一样的，而一个环上共五个顶点
• 无效：由于长度是2的路径包含了诸如$u\to v\to u$这样的重复路径，因此一个三元环加上这样的重复路径是无效的，需要减掉这样的路径，路径条数是三个顶点度数之和-3（自身边重复减了3次）

#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn = 700+2;
int n, m;
int deg[maxn], A[maxn][maxn], B[maxn][maxn], C[maxn][maxn];

void multiply(int A[][maxn], int B[][maxn], int C[][maxn])
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= i; j++)
        {
            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
            C[j][i] = C[i][j];
        }
    }
}


int main()
{
    int u, v;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        deg[u-1]++;
        deg[v-1]++;
        A[u-1][v-1] = A[v-1][u-1] = 1;
    }
    multiply(A, A, B);
    multiply(A, B, C);
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            ans += (long long)B[i][j] * C[i][j];
        }
    }
    ans /= 10;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (!A[i][j]) continue;
            for (int k = 0; k < j; k++)
            {
                if (!A[i][k]) continue;
                if (!A[j][k]) continue;
                ans -= (deg[i] + deg[j] + deg[k] - 3);
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;
}