Discrete Mathematics(1) - 命题逻辑

Discrete Mathematics(1)

 

 

1. 命题逻辑

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1.1 命题与逻辑联结词

1.1.1 命题的概念

定义1.1 称能判断真假的陈述句为命题。

提示：判断一个句子是否是命题，首先要判断它是不是陈述句，然后判断其真值是否唯一。真值唯一表示可以判断真假，但并不是说一定要知道其真假。其真值也不一定为真，而是有两种可能，即真或假。

1.1.2 逻辑联结词

联结词是构成复合命题的要件。

1.2 命题公式及公式分类

1.2.1 命题公式的概念

定义1.9 称本身真值不确定，但给其赋予一定的具体内容后便可成为原子命题的陈述句为命题变元，命题变元与初等数学里的概念类似，不过命题变元只能取值1或0。

1.2.2 命题公式的分类

若指定一个赋值使A的真值为1，则该赋值称为公式A的成真赋值。

若指定一个赋值使A的真值为0，则该赋值称为公式A的成假赋值。

1）永真式

2）永假式

3）可满足式

1.3 等值式与等值演算

运用真值表的方法，人们验证了许多等值式，其中一些重要的等值式，被当作定律来运用。

交换律：

1)  P V Q  Q V P          1)* P  Q  Q  P

结合律:

2) (P V Q) V R  P V (Q V R)          2)* (P   Q)   R  P   (Q   R)

分配律:

3) P V (Q   R)  (P V Q)   (P V R)          3)* P   (Q V R)  (P   Q) V (P   R)

双重否定律：

4) P  ¬ (¬ P)

等幂律：

5）P  P V P          5)* P  P   P

吸收律：

6) P V (P  Q)  P      6)* P  (P V Q)  P

零律：

7) P V 1  1          7)* P  0  0

同一律：

8）P V 0  P          8)* P   1 = P

排中律：

9) P V ¬P  1

矛盾律:

9)* P  ¬P  0

德-摩根律:

10） ¬（ P V Q)  ¬P  ¬Q          10)* ¬(P  Q)  ¬ P V ¬ Q

蕴含等值式:

11）P  Q  ¬P V Q

等价等值式；

12) P  Q  (P  Q)  (Q  P)

假言易位:

13）P  Q  ¬Q  ¬P

归谬论:

14) （P  Q)   （P  ¬Q） ¬P

这里的P, Q, R代表任意命题公式。

1.4 范式与主范式

当命题变元数目较多时，采用真值表法判断公式的类型会比较烦琐。我们可以通过公式一定标准形式的方法来判断公式的类型。

公式的规范形式就是范式。

定义1.15 由有限个原子合取式构成的析取式称为析取范式。由有限个原子析取式构成的合取范式称为合取范式。

定义1.18 如果命题公式A的等值式，仅由小项的析取组成，则称该等价式为A的主析取范式。

定义1.19 如果命题公式A的等值式，仅由大项的合取组成，则称该等价式为A的主合取范式。

定理1.4 在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式；

             真值为F的指派对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式；

 

 

 

 

参考文献:

[1] 王瑞胡，罗万成. 离散数学及其运用. 北京: 清华大学出版社，2014.