卡特兰数及括号正确匹配个数问题解释

给定n对括弧，求出这些括号可以正确配对的总数

举例

例如输入的数据是1，可以正确配对的方法是（），所以是输出1；

如果输入的数据是2，可以正确配对的方法是（）（），（（）），所以输出的是2；

如果输入的数据是3，可以正确配对的方法是（）（）（），（（））（），（）（（）），（（（））），（（）（））所以输出的是5；

公式：卡特兰数有固定的解法公式，以后碰到可以直接用公式来求解。

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

#include 

int catalan(int i)
{
   if(i == 0)
   {
      return 1;
   }
   return (i * 4 - 2) * catalan(i - 1)/(i + 1);
}
int  main()
{
    int i ;
	scanf("%d",&i);
    printf("输入%d 有%d种方法\n", i,catalan(i));
	getchar();
	getchar();
    return 0;
}

 

常见卡特兰数应用：

（1）一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列

（2）买票找零：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

（3） 

凸多边形三角划分：在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

（4）道路选择问题：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

 

 

 

（5）长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X。

（6） 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

 

 

（7）圆桌握手问题： 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

 

参考自https://blog.csdn.net/magic_andy/article/details/44998639