无穷小微积分下放中学的根据

无穷小微积分下放中学的根据

    借助超实数取“标准部分”运算st（这是一个低级代数运算），我们很容易定义函数的导数。导数是微积分学的基本概念。

搜索维基与百度百科，查阅所谓的“十一五”国家级规划教材，我们不难发现，它们都是“大同小异”，给出导数的如下定义：

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

由此可见，在传统微积分传道士的眼中，函数的导数必须建立在函数极限过程之上，安排在函数连续性之后，除此之外，别无他途也。

J.Keisler在《基础微积分》（无穷小方法）的第2.1节导数（已经上传互联网），开宗明义，给出如下定义如下：

DEFINITION

S is said to be theslope of f at a if

(*)  S = st((f(a +Δx)– f(a))/Δx)

for every nonzero infinitesimal Δx.

在（*）式中，S是函数在点a处的“变化率（曲线的”斜率”），运算符“st”是取标准部分的运算。而关于函数的导数，则有定义：

DEFINITION

Let f be a real function of one variable. The derivative of f is thenew function f‘ whose value at x is theslope of f at x. In symbols,

(*)  f'(x) = st ((f(x +Δx)– f(x))/Δx)

 

Whenever the slope exists.

在无穷小微积分中，函数的导数是一个借助于函数斜率来定义的新函数，是（未来讲授的）积分运算的“逆运算”（现在留下伏笔），而不必借助极限过程（limit）而大动干戈。实际上，取标准部分“st”运算，相对而言，是一个比较低级的”代数运算“，我们的高中学生完全能够”搞定“。

复杂的极限理论简化为代数运算。呜呼！

袁萌    9月23日