最大似然估计 和 最小二乘法

本文内容主要参考知乎问题下的回答：https://www.zhihu.com/question/20447622

最大似然估计与最小二乘法的解释：

• 最大似然估计：现在已经拿到了很多个样本（你的数据集中所有因变量），这些样本值已经实现，最大似然估计就是去找到那个（组）参数估计值，使得前面已经实现的样本值发生概率最大。因为你手头上的样本已经实现了，其发生概率最大才符合逻辑。这时是求样本所有观测的联合概率最大化，是个连乘积，只要取对数，就变成了线性加总。此时通过对参数求导数，并令一阶导数为零，就可以通过解方程（组），得到最大似然估计值。
• 最小二乘：找到一个（组）估计值，使得实际值与估计值的距离最小。本来用两者差的绝对值汇总并使之最小是最理想的，但绝对值在数学上求最小值比较麻烦，因而替代做法是，找一个（组）估计值，使得实际值与估计值之差的平方加总之后的值最小，称为最小二乘。“二乘”的英文为least square，其实英文的字面意思是“平方最小”。这时，将这个差的平方的和式对参数求导数，并取一阶导数为零，就是OLSE。（简言之最小二乘法就是基于均方误差最小化来进行模型求解的方法，求解w、b使得均方误差最小化的过程称为线性回归模型的最小二乘“参数估计”）

区别：

• 最小二乘法可以从Cost/Loss function角度去想，这是统计（机器）学习里面一个重要概念，一般建立模型就是让loss function最小，而最小二乘法可以认为是 loss function = （y_hat -y )^2的一个特例，类似的想各位说的还可以用各种距离度量来作为loss function而不仅仅是欧氏距离。所以loss function可以说是一种更一般化的说法。
• 最大似然估计是从概率角度来想这个问题，直观理解，似然函数在给定参数的条件下就是观测到一组数据realization的概率（或者概率密度）。最大似然函数的思想就是什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率是最大的。
• 最大似然估计和最小二乘法还有一大区别就是，最大似然估计是需要有分布假设的（所有的采样都是独立同分布），属于参数统计，如果连分布函数都不知道，又怎么能列出似然函数呢？ 而最小二乘法则没有这个假设。 二者的相同之处是都把估计问题变成了最优化问题。但是最小二乘法是一个凸优化问题，最大似然估计不一定是。

 

• 最小二乘法从最大似然推导：