算法分析---寻找丑数

什么是丑数：

一个数的因子只包含2，3，5的数称为丑数。数字1特别对待也看作是丑数，所以从1开始的10个丑数分别为1，2，3，4，5，6，8，9，10，12。

因子的概念:

整数m除以n，得到无余数的商，则称n是m的一个因子。如8的因子有1、2、4、8。而丑数要求的因子只包含2、3、5。所以丑数中的因子应理解为质因子。即因子为质数，质数又称素数，指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。与质数相对应的数称为合数。

现在要求写一个程序，输出从1开始的第N个丑数。如第一个丑数为1，第二个丑数为2，第十个丑数为12

判断是否是丑数的算法：

设待判断整数位M，M循环除以2直到不能整除，此时接着循环除以3直到不能整除，接着循环除以5直到商为1或者不能整除为止。商为1且余数为0则为丑数，否则为非丑数。

如：丑数12

12/2 = 6

6/2 = 3;

3/2 不能整除

3/3 = 1; 结束，12是丑数

非丑数26

26/2 = 13

13/2 不能整除

13/3 不能整除

13/5 不能整除

结束，26不是整数

寻找丑数算法1：

（1）设置一个计数器用来统计出现的丑数的个数

（2）从1开始遍历每一个整数，判断是否是丑数，如果是丑数则计数器加1，否则遍历下一个整数。

（3）当计数器的值=N时，停止遍历，输出丑数。

#include 
#include 
#include 

int isUgly(int number){ //判断number是否是丑数
	while(number%2==0){ //判断数能否被2整除
		number=number/2; 
	}

	while(number%3==0){ //判断数能否被3整除
		number=number/3;
	}

	while(number%5==0){ //判断数能否被5整除
		number=number/5;
	}
	
	if(number == 1) //
		return 1;
	else
		return 0;
}

int findUgly(int N){  //寻找从1开始的第N个丑数
	int count=0; //用于计数
	int number=1; //从1开始遍历
	while(1){
		if(isUgly(number)){  //如果number是丑数计数器加1
			count++;
		}
		if(count == N)  //找到第N个丑数，返回丑数
			return number;
		else
			number++; 
	}
}

void main(){
	int N=0;
	scanf("%d",&N);
	clock_t start = clock();
	printf("%d\n",findUgly(N));
	clock_t stop = clock();
	printf("耗时:%lf\n",(double)(stop - start) / CLOCKS_PER_SEC);
}

上面算法从1开始遍历，来寻找第N个丑数，当N很大时花费的时间会很多。当N为1400的时候消耗23秒，随着N的增大，耗时相当严重

寻找丑数算法2：

想办法从上一个丑数推断出下一个丑数，而不需要从1开始遍历再判断。从1开始的10个丑数分别为1，2，3，4，5，6，8，9，10，12。可以发现除了1以外，丑数都是由某个丑数*2或者*3或者*5得到的。如2是丑数1*2得到的，3是丑数1*3得到的，4是丑数1*4得到的，5是丑数1*5得到的，6是丑数2*3得到的……

具体算法步骤：

（1）从第一个丑数1开始，求出1*2=2 ，1*3=3 ，1*5 = 5；

（2）取上面乘积中大于1的最小值2，作为第二个丑数（丑数是个递增序列，所以第i+1个丑数一定比第i个丑数）

（3）求丑数2之前的丑数与2、3、5的乘积：1*2=2 ，1*3=3 ，1*5 = 5； 2*2 = 4； 2*3 = 6； 2*5 =10；

（4）取上面乘积中大于2的最小值3，作为第三个丑数

       ……

       ……

（i）取出丑数i之前的丑数分别与2、3、5的乘积

（i+1）取乘积中大于i的最小值作为丑数

（i+2）重复(i)(i+1)的步骤直到计数器等于N

#include 
#include 
#include 

#define MaxLen 99999

//用于求出3个数的最小值
int compare(int chenTwo,int chenThree,int chenFive){
	if(chenTwo <=chenThree){
		if(chenTwo <= chenFive)
			return chenTwo;
		else
			return chenFive;
	}
	else if(chenThree <= chenFive)
		return chenThree;
	else
		return chenFive;
}

//找出第N个丑数
int findUgly(int N){
	int ugly[MaxLen]={1}; //用于保存丑数的数组，将丑数1存入数组中
	int count=1; //数组中仅有丑数1，所以计数器为1

	while(1){
		int chenTwo = 0;
		int chenThree = 0;
		int chenFive = 0;

		/*
			ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
			ugly[count-1]之前的丑数与2相乘,
			求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenTwo中
		*/
		for(int i = 0 ; i < count ; i++){ 
			if(ugly[i]*2 >ugly[count-1]){
				chenTwo = ugly[i]*2;
				break;
			}
		}

		/*
			ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
			ugly[count-1]之前的丑数与3相乘,
			求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenThree中
		*/
		for(i = 0 ; i < count ; i++){
			if(ugly[i]*3 >ugly[count-1]){
				chenThree = ugly[i]*3;
				break;
			}
		}

		/*
			ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
			ugly[count-1]之前的丑数与5相乘,
			求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenFive中
		*/
		for(i = 0 ; i < count ; i++){
			if(ugly[i]*5 >ugly[count-1]){
				chenFive = ugly[i]*5;
				break;
			}
		}

		//chenTwo，chenThree，chenFive的最小值为新的丑数，存入ugly数组中
		ugly[count]=compare( chenTwo, chenThree, chenFive);
		count++;
		if(count==N) //第N个丑数
			return ugly[count-1];
	}
}

void main(){
	int N=0;
	scanf("%d",&N);
	clock_t start = clock();
	printf("%d\n",findUgly(N));
	clock_t stop = clock();
	printf("耗时:%lf\n",(double)(stop - start) / CLOCKS_PER_SEC);
}

当输入N=1400时，耗时还不足0.1秒。可见算法2的速度是算法1所不能比拟的，这是用空间来换取效率的结果。