2019“华为杯”第十六届研究生数模竞赛F题一等奖7/2790方案

“华为杯”第十六届研究生数模竞赛最近颁奖也结束了，总结一下，(* /ω＼*)防止以后不知道忘到哪里去了。

题目

F题:飞行器航迹快速规划.
论文.

问题1

给定2个场地的校正点数据，规划路径。需要满足最基本的水平，垂直限制高度，属于引导上手的问题。

方案

把限制条件和目标量化以后直接使用搜索算法搜索即可，这里会涉及到一个矫正点数量与总路程长度的trade off。

结果

场景一路线：A→503→69→237→115→338→457→555→436→B
长度：104898

场景二路线：A→163→114→8→309→305→123→45→160→92→93 →61→292→B
长度：109342

问题2

在问题1的基础上增加了转弯半径的路线限制。

方案

在问题1当中，由于不考虑转弯半径的问题，因此路径规划只需知道出发点和目的地点的坐标，即可轻易模拟出飞行轨迹，计算飞行的代价等相关数据，这个小题增加了对转弯半径的约束，使得飞行器不能在点与点直接以直线的轨迹飞行。第一个思路想到的是泛函，求导相关的思路，转弯半径问题就可以转化为限制导数的大小的问题，但是后来由于数学菜鸡有很多地方想不明白，并且算法实现起来非常有难度。
这个小题是我们队当时花费时间最久的一个小题，甚至我们是先完成的第三小题，在解决的第二小题。
本着写不来，就查论文的指导方针，找了很久论文，还真找到了一个非常切合问题的解决技术，Dubins曲线：

在1957年, Lester Eli Dubins (1920–2010)
证明任何路径都可以由最大曲率和/或直线段组成（两点之间的路径必须存在）。
换句话说，连接两点的最短路径将通过最大曲率的曲的圆弧和直线段的构成。 后来Pontryagin的最大原则证明了相同的结果。

因此借助dubins的相关理论，转弯的地方出现的弧线要使距离最短，出现的弧线的曲率要最大，即最小的转弯半径的圆。因此可以不用考虑是否曲线是不是为圆弧或者曲率是否合适等问题，需要转弯的地方，直接用最大曲率的圆弧代替即可，这样问题就被简化为已知入射角和出射角，利用已知圆弧的一部分将角度转过来的问题。

dubins曲线研究的是二维平面的性质，我们利用投影的实现，将xyz空间上的一系列校正点，分别投影到xOy平面（底面）和zOy平面（后面），将三维空间的路径规划分解为两个正交的二维的平面的优化问题。分别计算出xOy平面和zOy平面的轨迹之后，统一x坐标，取对应的y，z坐标，即可合并为一条三维的路线。

结果

场景一路线：A→503→69→237→233→598→561→448→485→B
长度：104935

场景二路线：A→163→114→8→309→305→123→45→160→92→93→61→292→B
长度：109411

由于最小转弯半径为200m，图示的距离却在100000m的维度，因此拐角十分不明显，不过由于增加了这个限制，在第一问中原本规划的路径由于在某几个校正点之前十分极限（误差仅仅相差零点零几米），导致原本路径规划无法正常通过，从而重新规划了对第一小题来说的次优路径（误差相对宽松）

问题3

在第一问的基础上增加了校正成功的概率问题。

方案

这个小题我感觉我们的解法存在相当大的问题，非常之暴力（太菜了没办法╮(╯▽╰)╭）。我们这边采用了一种说起来非常高大上的方法来解决概率问题，蒙特卡洛方法求解概率。说穿了就是一遍又一遍的模拟，然后统计成功和不成功的次数来逼近真实的概率。这导致我们第三问的算法非常低效，因为前两问没有变量一个路径只要跑一次，第三问因为有概率，因此我们设定了一旦路径中包含含有概率的矫正点，就让他模拟跑k次，来算这条路径成功的概率( ′ 3`) 。

结果

场景一路线：A → 578 → 417 → 80 → 237 → 607 → 33 →194 → 450 → 448 → 485 → 302 → 612 → B
航迹长度为 108439 m,误差校正点 12 点,成功抵达终点概率 100% 。

场景一路线：A → 169 → 322 → 100 → 137 → 194 → 190 → 296 → 250 → 243 
          → 73 → 82 → 44 → 211 → 321 → 279 → 301 → 38 → 287 → 99 → 326 → B
航迹长度为 147271 m,误差校正点 19 点,成功抵达终点概率 64.01% 。

由于我们秉持成功抵达优先（其实是因为路径包含不稳定点的话要进行重复模拟太费时间╮(╯▽╰)╭），因为不稳定点的关系，饶了很多远路，但是场景一还是能绕出来，场景二因为点设置的非常极限，必须要经过不稳定点（主办方应该也不想我们可以完全绕过吧，不然就退化成减少了校正点的第一问了），导致最后成功率只有65%。这个已经比第一问的时候的场景二的路线多绕了将近4w米了，可以看到路线十分曲折╥﹏╥

写在最后

本次比赛我是负责代码的构建与数值解的求解过程，（这里说的是我求解的思路，并且过去有点久了，有可能和文章中的描述有些许的出入）另外两位队友分别负责问题的数学公式化和文章的写作。感觉数模分工明确还是挺重要的（有全能大佬的除外），不然一个人肯定是来不及的。
顺便说一句，我们比赛几天做下来，竟然没有通宵(≧∇≦)ﾉ，简直不敢相信，有可能太菜，有很多要注意的点没有注意到吧。