《数据结构与算法分析》 - 数学证明 log X < X 对于任意X >0成立

1. 证明log X < X 对于任意的 X > 0都成立

采用了数学归纳法 

1） 当  0 < X <= 1时候。

由于 log 1 = 0 ， 当X <1时 log X <0

所以log X < X得证

2） 当 x > 1时 采用数学归纳法

（假设 当 x > 1时， log x < x,  推导出 log (x +1) < (x + 1) 则命题得证）

log(2x) = log2 + logX = 1 + logX < 1+ X  (假设 log x < x成立)   （I）

由于当log x ，x >1时。他是一个递增函数 

所以对于任意的 A < B (A > 1 且 B >1）满足 log A < logB

 因为 1  < X  （x为正数）不等式两边同时加上X 得

1 + X < X + X = 2X

得出 log(1+X) < log(2X)     (II)

将 （I） 代入（II）得到

log (1+x) < log (2x) < (1+x)

整理后得  log (x + 1) < (x + 1)  (III)

因此原命题得证。

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1)Proof by Induction.

2)the Predicate should be