51nod：1118 机器人走方格（排列组合+逆元）

1118 机器人走方格

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0  难度：基础题

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M * N的方格，一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10^9 + 7的结果。

Input

第1行，2个数M,N，中间用空格隔开。（2 <= m,n <= 1000)

Output

输出走法的数量。

Input示例

2 3

Output示例

3

解题思路：从最左一边走到最右一边，需要走n-1步，从最上边走到最下边，需要走m-1步，所以一共走n+m-2步。这n+m-2步中，有些步是向右的，有些步是向下的，将这些步排列组合ans=c(n+m-2,n-1)或ans=c(n+m-2,m-1)。

这样，在组合公式中除法不能直接取模，那么求逆元即可。

求逆元：1.a的逆元=(a^(p-2))modp;

2.a的逆元用exgcd求解。

代码如下：

方法一（对应逆元求法1）：

#include 
#define LL long long
const LL M=1000000007;
LL quick_pow(LL a,LL b)
{
	LL t=1;
	LL base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			t=(t*base)%M;
		}
		b=(b>>1);
		base=(base*base)%M;
	}
	return t%M;
}
LL calc(LL n,LL m)
{
	LL tmp1=1,tmp2=1;
	for(LL i=n-m+1;i<=n;i++)
	{
		tmp1=(tmp1*i)%M;
	}
	for(LL i=1;i<=m;i++)
	{
		tmp2=(tmp2*i)%M;
	}
	return (tmp1*quick_pow(tmp2,M-2))%M;
}
int main()
{
	LL m,n;
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	printf("%lld\n",calc(m+n-2,n-1));
	return 0;
 } 

代码2：

#include 
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	long long tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-(a/b)*y;
}
long long calc(long long n,long long m)
{
	long long tmp1=1,tmp2=1;
	for(long long i=n-m+1;i<=n;i++)
	{
		tmp1=(tmp1*i)%1000000007;
	}
	for(long long i=1;i<=m;i++)
	{
		tmp2=(tmp2*i)%1000000007;
	}
	long long x,y;
	exgcd(tmp2,1000000007,x,y);
	long long ni=x;
	while(ni<0)
	{
		ni=(ni+1000000007)%1000000007;
	}
	return (tmp1*ni)%1000000007;
}
int main()
{
	long long n,m;
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	printf("%lld\n",calc(m+n-2,n-1));
	return 0;
 }