曲线回归------（一）曲线的类型与特点及方程的配置

两个变数之间的关系不一定是简单的线性关系，可能是多种多样的曲线关系。

X在某一区间上，X和Y的关系有可能用线性描述，但X可能取值的区间而言 ，可能是非线性。

两个变数呈现曲线关系的回归称曲线回归（curvilinear regression）或非线性回归（non-linear regression）。

以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律，称为曲线回归分析或非线性回归分析。

曲线角度看，线性回归仅是其中的一个特例：直线可看成是曲率为0的曲线。

一、曲线的类型与特点

根据曲线的性质和特点可大致分为6类：指数函数曲线，对数，幂函数，双曲，S型和多项式曲线。

（1）指数函数曲线

指数函数（x 作为指数出现）方程形式：  参数b一般用来描述增长或衰减的速度

                                                         

,当 a>0、b>0时，y随x的增大而增大（增长），曲线凹向上；

             当 a>0、b<0时，y随x的增大而减小（衰减），曲线也是凹向上。   

                     

（2）对数函数曲线

对数函数（x 作为自然对数出现）方程形式：  （x>0）

对数函数表示：x变数的较大变化可引起y变数的较小变化。

b>0时，y随x的增大而增大，曲线凸向上；

b<0时，y随x的增大而减小，曲线凹向上。

（3）幂函数曲线

对数函数（y是x某次幂的函数）方程形式：

当 a>0、b>1时，y随x的增大而增大（增长），曲线凹向上；

当 a>0、0

当 a>0、b<0时，y随x的增大而减小，曲线凹向上，且以x,y轴为渐近线。

（4）双曲函数曲线：变形双曲线

   方程形式：i:     

                   ii:    

                   iii:   

 , 该曲线通过原点（0，0）

当 a>0、b>0时，y随x的增大而增大，但速率趋小，曲线凸向上，并向y=1/b渐进；

当 a>0、b<0时，y随x的增大而增大，速率趋大，曲线凹向上，并向x=-a/b渐进。  

（5）S型曲线

主要描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线。

生长过程的基本特点是开始增长较慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到一定的限度后增长又缓慢下来，曲线呈拉长的‘S’型曲线。‘注明的S’型曲线是Logistic生长曲线。

Logistic曲线方程：          (a、b、k均大于0)

x=0,   ;     x,   ;   

所以时间为0的起始量为  ， 时间为无限延长的终极量为 k 

曲线时有一个拐点，这时，恰好是终极量k的一半

拐点左侧，曲线凹向上，速率由小趋大；拐点右侧，曲线凸向上，速率由大趋小。

二、曲线方程的配置

曲线方程配置（curve fitting）:指对两个变数资料进行曲线回归分析，获得一个显著的曲线方程的过程。

1、曲线回归分析的一般程序

由试验数据配置曲线回归方程，包括以下三个步骤：

（1）根据变数X和Y之间的确切关系，选择适当的曲线类型

确定曲线类型是曲线回归分析的关键。除了应有专业知识支撑外，统计上通常采用图示法和直线化法辅助选择。

图示法：将试验数据按自然尺度绘出散点图，然后按照散点趋势画出反映它们之间变化规律的曲线，并与已知的各种曲线方程相比较，找出与之最为相似的曲线图形，作为选定的曲线类型。

直线化法：是在散点图的基础上选出一种曲线类型，对该曲线方程进行尺度转换使之直线化，再将原数据进行相同的尺度转换，用转换后的数据绘出新的散点图。若此散点图具有直线趋势，即表明选取的曲线类型是恰当的。

（2）对选定的曲线类型，在线性化后按最小二乘法原理配置直线回归方程，并作显著性测验

求得两变数或转换后的新变数间的线性相关系数  。

若此  不显著，则分析结束，表明所选曲线方程不适合；

若  显著，则表明所选曲线方程在统计上是恰当的，可继续求解回归统计数，获得直线回归方程。

（3）将直线回归方程转换成相应的曲线方程，并对有关统计参数作出推断

获得显著的直线回归方程后，可直接反转 换成相应的曲线回归方程，并根据曲线方程的特性估计有关参数，包括回归参数、极小值、极大值、渐进值和拐点等。必要时，可利用曲线方程进行x观察范围内的预测（内插），或在论据充足时进行x观察范围外的预测（外推）。

应用上述程序配置曲线方程，注意点如下：

（1）若同一资料用两种或两种以上不同类型的曲线方程配置，结果均为显著，则需选择其中最佳的曲线方程。判别的统计标准是不同曲线方程下离回归平方和  的大小， 最小者当选。也可直接根据直线化后的的绝对值大小直接确定。

（2）若进行转换后仍无法找出显著的直线化方程，可考虑采用多项式逼近。

（3）一些方程无法进行直线化转换，此时可直接采用最小二乘法拟合。所有曲线方程均可采用最小二乘法直接拟合，且一般预期可比线性化方法获得更好的拟合度。

2、指数曲线方程   的配置

若 y 观察值都大于 0，则可对两边取自然对数： 

令,  则 

 与 x 的线性相关系数：  

若显著，  

              

              

3、幂函数曲线方程 的配置

若 y 和 x 都大于0时可线性化：

令,  , 则 

 与 x 的线性相关系数：  

若显著，  

              

              

4、Logistic曲线方程的配置

                                   (a、b、k均大于0)

要对方程进行线性化处理，必须首先确定k值。

根据k是生长过程中的终极量的特点，有两种方法估计：

（1）如果y是累积频率，k=100%

（2）如果y是生长量或繁殖量，可取3对观察值 , ,  分别带入方程得到联立方程：

                   

                   

                   

令 ,则可解得: 

有了 k 的估值后，将方程移项并取自然对数得：

                                           

令 ,可得直线回归方程：

y和x对于Logistic方程的符合度可由  和x的相关系数给出：  

若显著，