leetcode1201. 丑数 III

题目描述

请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。

丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数。

示例 1：

输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4

解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6

解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12… 其中第 4 个是 6。

示例 3：

输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10

解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 个是 10。

示例 4：

输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984

提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^9
1 <= a * b * c <= 10^18
本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

提示1：

Write a function f(k) to determine how many ugly numbers smaller than k. As f(k) is non-decreasing, try binary search.

提示2：

Find all ugly numbers in [1, LCM(a, b, c)] (LCM is Least Common Multiple). Use inclusion-exclusion principle to expand the result.

code

• 由题目给定的提示1，我们可以设计一个函数f(k)，在已知参数a,b,c的情况下求得小于k有多少个丑数，由于f(k)是一个非递减序列，因此可以对其进行二分查找
• 已知一个丑数k，如何确定它是第几个丑数？公式：k/a+k/b+k/c-k/lcm(a,b)-k/lcm(a,c)-k/lcm(b,c)+k/lcm(a,lcm(b,c))
  • 不难理解，参考：二分法思路剖析
• 由于可能有多个数k,f(k1)=f(k2)=…=f(kp)=n，而其中只有第一个f(k1)是丑数，其余均不是丑数（假设k2是丑数则f(k2)应等于f(k1)+1，类推），故我们需要找到所有满足f(k)=n条件的最左边界k1
  • 找最左边界和最右边界相关题：剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 I

class Solution {
     
public:
    typedef long long LL;
    LL lcm(LL a, LL b){
     //求a、b的最小公倍数，注意这里a,b要写成LL型
        LL sum=a*b;
        while(b){
     
            LL tmp=a;
            a=b;
            b=tmp%b;
        }
        return sum/a;
    }
    LL countUglyNumber(int k,int a,int b,int c){
     //即f(k)：计算k是第几个丑数
        return k/a+k/b+k/c-k/lcm(a,b)-k/lcm(a,c)-k/lcm(b,c)+k/lcm(a,lcm(b,c));
    }
    int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
     
        //二分查找第n个丑数
        LL left=min(a,min(b,c));//
        LL right=n*left;
        while(left<right){
     
            LL mid=left+((right-left)>>1);
            int num=countUglyNumber(mid,a,b,c);//计算mid是第几个丑数
            if(num<n){
     
                left=mid+1;
            }else {
     
                right=mid;
            }
        }
        return left;//此时left为最左边界
    }
};