python学习笔记：算法之归并排序（merge sort）

归并排序由约翰·冯·诺伊曼（John Von Neumann）1945年提出，是典型的分治算法（divide conquer algoalgorithm）。

**一、算法描述

算法记为 mergesort（L)：

• divide：将无序列表L分成n个子列表（ n=len(L)） ，每个子列表是有序的；

• merge：两两归并子列表产生新的子列表，每个子列表是有序的；

• merge repeatedly：重复步骤2，直至归并为1个列表。

  下面以L=[6,5,3,1,8,7,2,4]为例说明归并过程。（https://en.wikipedia.org/wiki/Merge_sort ）
  

二、算法效率

时间复杂度：用大O记号法表示为 O(nlogn)。

大O记号法：big O notation，是用于描述函数渐进行为的数学符号，更确切地说它是用另一个(通常更简单的)函数来描述一个函数数量级的渐近上界。

一般来说，我们用大O记号法表示的时间复杂度是对最坏情况的描述。

计算过程如下：

假设被排序列表长度为n，记时间频度为T(n)，则根据上述算法描述可知： $T(n)=2T(n/2)+n$ 。

• $T(n/2)$：将列表L拆分为2个长度为n/2的子列表进行归并排序，每个子列表归并用时为T(n/2)；
• $n$：将两个子列表进行合并为1个列表最坏情况下需执行n次（时间）。
  $$\begin{array}{rl}T(n)& =2\ast T(\frac{n}{2})+n\\ T(\frac{n}{2})& =2\ast T(\frac{n}{2^2})+n/2\\ T(\frac{n}{2^2})& =2\ast T(\frac{n}{2^3})+n/2^2\\ ......& \\ T(\frac{n}{2^{k-1}})& =2\ast T(\frac{n}{2^k})+\frac{n}{2^{k-1}}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  将上述一组等式依次由下往上带入计算可得：
  $$T(n)=2^k\ast T(\frac{n}{2^k})+k\ast n\text{\hspace{1em}(2)}$$
  设$n=2^k$，则等式(2)为：
  $$T(n)=n\ast T(1)+n\ast lo{g}_{2}n\text{\hspace{1em}(3)}$$
  这里，$T(1)=1$，故有：
  $$T(n)=n+n\ast lo{g}_{2}n\text{\hspace{1em}(4)}$$
  显然，$T(n)=O(nlogn)$（常简记$lo{g}_{2}n$为$logn$），即： 输入每增大10倍，算法所需时间提高1倍。

三、python实现