二分图的最大匹配

来源：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/11848327

来源：https://comzyh.com/blog/archives/148/

这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。

二分图的定义和判断方法

：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U  和 V ，使得每一条边都分别连接U 、 V  中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环（也就是回路长度均为偶数）」的图。

证明大体思路：对于无回路的图，显然它可以匹配一个二分图（染色法判断）

我们只要考察所有回路，如果对于所有回路都可以构成二分图，那么也必然可以构成二分图

具体证明（来自百度百科）：

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

证先证必要性。

设G为二分图。由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。若C为G中任一回路，令

C = (v0,v 1,v2，…，v l-1,v l = v0)

其中诸vi (i = 0,1，…，l）必定相间出现于X及Y中，不妨设

{v0,v2,v4，…，v l = v0} Í X

{v1,v3,v5，…，v l-1} Í Y

因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。

再证充分性。

设G的所有回路具有偶数长度 ，并设G为连通图（不失一般性，若G不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。

令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使 = G。取v0的回路V，置

X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}

Y = V-X

X显然非空。 现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y中。

由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点长度为1，设为v1，那么v1存在于Y； 故Y不空。

设有边（u,v），使u存在于X，v存在于X。那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0；v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。 无论何种情况，均有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径（ 从V0到V,V到U,U到V0是一个奇数 ） ， 因而有从v0到v0的奇数长度的回路 （因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数），与 题设 矛盾。故不可能有边（u,v）使u,v均在X中。

“没有任何边的两个端点全在Y中”的证明可仿上进行 ，请读者思考。

匹配

：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

      

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：G中边数最多的匹配称为最大匹配

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

（转载来源 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547）

趣味算法解释

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“ 腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

【code】

N是二分图左边的点，M是右边的点

通过对于左边的每个点扫描一次。复杂度O(N*M)

 bool find(int x){
     int i,j;
     for (j=1;j<=m;j++){    //扫描顶点
         if (line[x][j]==true && used[j]==false)
         //如果联通（有关系）并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找正在改变这个顶点的归属问题）
         {
             used[j]=1;
             if (girl[j]==0 || find(girl[j])) {   //条件：这个点未匹配或者已经匹配了
 //如果递归成功，说明可以移到另一个顶点上面（因为我们这里used[i]已经使用了）
                 //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
                 girl[j]=x;
                 return true;
             }
 注意：
 //后面不用加上 isused[j]=-1; 消除标记//因为如果这里无法改变j的归属，那么j的归属在后面也无法改变
         }
     }
     return false;
 }

 for (i=1;i<=n;i++)
 {
     memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
     if find(i) all+=1;
 }

这里“正在改变”的含义：其他男生不能通过指向这个女生来使得当前问题得到解决，可以理解为这些女生是待解决的女生，不能通过男生和待解决的女生连线解决问题。 

严密算法解释

增广路：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行）。